Mobius inversion formula
두 수론적 함수의 관계에 대한 공식이다.
목차
1. 진술
2. 증명
3. 일반화
4. 쌍대 뫼비우스 반전 공식
5. 영상
수론적 함수 f,g에 대하여 다음이 성립한다.
f(n)=\sum_{d|n}g(d) \iff g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})
f=g*u이므로
g=f*u^{-1}=\mu*f이다.
디리클레 곱을 참고하라.
일반화된 반전 공식(Generalized inversion formula)는 역원이 존재하는 수론적 함수 \alpha와 \Bbb R^+ 위에서 정의되어있고 (0,1) 위에서 그 값이 0인 복소함수 F,\ G에 대해 다음이 성립함을 말한다.
G(x)=\sum_{n \leq x} \alpha(n)F(\frac{x}{n}) \iff F(x)=\sum_{n \leq x} \alpha^{-1}(n)G(\frac{x}{n})
\alpha가 완전 곱셈적일 경우 \alpha^{-1}=\mu\alpha이고, 따라서 성립하는 아래 식을 일반화된 뫼비우스 반전 공식(Generalized Möbius inversion formula)라고 한다.
G(x)=\sum_{n \leq x} \alpha(n)F(\frac{x}{n}) \iff F(x)=\sum_{n \leq x} \mu(n)\alpha(n)G(\frac{x}{n})
4. 쌍대 뫼비우스 반전 공식 ✎
쌍대 뫼비우스 반전 공식(Dual Möbius inversion formula)는 다음을 말한다.
D \subset \Bbb N가 인수에 대해 닫혀있고(d \in D,\ d' \mid d\ \rightarrow d' \in D), f,g가 수론적 함수일 때,
f(n)=\sum_{n \mid d,\ d \in D} g(d) 와 g(n)=\sum_{n \mid d,\ d \in D} \mu(\frac{d}{n})f(d) 는 동치이다.
(각 급수가 절대수렴할 때만을 생각한다.)
