뫼비우스 반전 공식 (편집)

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Mobius inversion formula

두 수론적 함수의 관계에 대한 공식이다.

== 진술 ==
수론적 함수 [math(f,g)]에 대하여 다음이 성립한다.

[math(f(n)=\sum_{d|n}g(d) \iff g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d}))]

== 증명 ==
[math(f=g*u)]이므로 [math(g=f*u^{-1}=\mu*f)]이다. [[디리클레 곱]]을 참고하라.

== 일반화 ==
일반화된 반전 공식(Generalized inversion formula)는 역원이 존재하는 수론적 함수 [math(\alpha)]와 [math(\Bbb R^+)] 위에서 정의되어있고 [math((0,1))] 위에서 그 값이 0인 복소함수 [math(F,\ G)]에 대해 다음이 성립함을 말한다.

[math(G(x)=\sum_{n \leq x} \alpha(n)F(\frac{x}{n}) \iff F(x)=\sum_{n \leq x} \alpha^{-1}(n)G(\frac{x}{n}))]

[math(\alpha)]가 완전 곱셈적일 경우 [math(\alpha^{-1}=\mu\alpha)]이고, 따라서 성립하는 아래 식을 일반화된 뫼비우스 반전 공식(Generalized Möbius inversion formula)라고 한다.

[math(G(x)=\sum_{n \leq x} \alpha(n)F(\frac{x}{n}) \iff F(x)=\sum_{n \leq x} \mu(n)\alpha(n)G(\frac{x}{n}))]

== 쌍대 뫼비우스 반전 공식 ==
쌍대 뫼비우스 반전 공식(Dual Möbius inversion formula)는 다음을 말한다.

[math(D \subset \Bbb N)]가 인수에 대해 닫혀있고([math(d \in D,\ d' \mid d\ \rightarrow d' \in D)]), [math(f,g)]가 수론적 함수일 때,

<math>f(n)=\sum_{n \mid d,\ d \in D} g(d)</math> 와 <math>g(n)=\sum_{n \mid d,\ d \in D} \mu(\frac{d}{n})f(d)</math> 는 동치이다.

(각 급수가 절대수렴할 때만을 생각한다.)

== 영상 ==
[youtube(e-9ZPswOmdE)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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