X가 가측공간이고 \mu가 X의 측도이고 X에서 \Bbb{R}로 가는 적분가능한 함수열 f_n이 수렴하면서 g\in L^1(\mu)이 있어서 |f_n|\le g이면 f\in L^1(\mu)이고 \lim_{n\to\infty}\int_{X}f_n\,\mathrm{d}\mu=\int_{X}f\,\mathrm{d}\mu2g-|f_n-f|\ge 0이므로 파투의 보조정리에 의해 \liminf_{n\to \infty}\int_{X}2g-|f-f_n|\,\mathrm{d}\mu\ge \int_{X}2g-\liminf_{n\to \infty}|f-f_n|\,\mathrm{d}\mu\limsup_{n\to \infty}\int_{X}|f-f_n|\,\mathrm{d}\mu\le 0