대수적 정수환

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Ring of algebraic integers

대수적 수체의 원소 중 정수 계수 모닉 다항식의 해인 것들의 집합을 말한다. 보통 줄여서 정수환(Ring of integers)이라고 부르고, 수체 \displaystyle K의 정수환(the ring of integers of K)을 통상적으로 \displaystyle \mathcal{O}_K 또는 \displaystyle O_K로 표시한다.

1. 정수 기저
1.1. 정수 기저의 존재성
1.1.1. 보조정리
1.1.1.1. 증명
1.1.2. 증명
2. 단일 생성 수체
3. 예시

1. 정수 기저 ✎

1.1. 정수 기저의 존재성 ✎

차수가 n인 수체 K의 정수환 O_K는 계수가 n인 자유 \mathbb Z-가군이다.

1.1.1. 보조정리 ✎

정수적으로 닫힌 환 \displaystyle A와 표수가 0인 그 분수체 \displaystyle K의 \displaystyle n차 확장 \displaystyle L에 대하여 \displaystyle L에서의 \displaystyle A의 정수적 폐포 \displaystyle B는 계수가 \displaystyle n인 자유 \displaystyle A-가군의 부분 가군이다.

1.1.1.1. 증명 ✎

\displaystyle (x_1, x_2,\cdots ,x_n)을 \displaystyle K상의 벡터 공간 \displaystyle L의 기저라고하자. 각각의 \displaystyle x_i에 대해 \displaystyle a_{n}x_i^{n}+a_{n-1}x_i^{n-1}+\cdots+a_0=0 (a_k\in A, a_n\ne 0)인 \displaystyle a_1, a_2,\cdots ,a_n가 존재하고 양변을 \displaystyle a_{n}^{n-1}로 곱하면 \displaystyle a_nx_i는 \displaystyle A상에서 정수적이다. 이 때, \displaystyle x_i'=a_nx_i라하면 B의 원소 \displaystyle (x_1', x_2',\cdots ,x_n')는 \displaystyle K상의 벡터 공간 L의 기저가 된다.

한편 \displaystyle K에서의 L로의 트레이스는 비퇴화 겹선형 형식이므로 \displaystyle Tr(x_i'y_j)=\delta_{ij}인 \displaystyle L의 기저 \displaystyle (y_1, y_2,\cdots ,y_n)이 존재하고 \displaystyle z=\sum_{j=1}^{n}b_jy_j라 하면 \displaystyle x_i'z\in A의 트레이스 \displaystyle Tr(x_i'z)=Tr(\sum_{j=1}^{n}b_jx_i'y_j)=b_jTr(\sum_{j=1}^{n}x_i'y_j)=\sum b_j\delta_{ij}=b_j역시 \displaystyle A의 원소이므로 \displaystyle B는 자유 \displaystyle A-가군의 부분 가군이다.

1.1.2. 증명 ✎

보조정리1에 따라 \displaystyle O_K는 자유 \displaystyle \mathbb Z-가군의 부분 가군이다. 한편, 계수가 n인 PID 상의 자유 가군의 부분 가군은 n이하의 계수를 가진 자유 가군이고, \displaystyle O_K의 원소인 K상의 벡터 공간 L의 기저가 있으므로, \displaystyle O_K는 계수가 \displaystyle n인 자유 \displaystyle \mathbb Z-가군이다.

이 때, \displaystyle O_K의 기저를 정수 기저(integral basis)라고 부른다.

2. 단일 생성 수체 ✎

수체 \displaystyle K의 정수환 \displaystyle O_K가 \displaystyle \mathbb Z[\alpha](\alpha\in O_K)꼴일 때, K를 단일 생성 수체(monogenic number field)라고 한다. 단일 생성 수체의 정수환은 거듭제곱 정수 기저 1, \displaystyle \alpha,\displaystyle \cdots ,\displaystyle \alpha^{n-1}을 가진다. 이 때, K의 판별식은 \displaystyle \alpha의 최소 다항식의 판별식과 일치한다.

3. 예시 ✎

유리수체 \mathbb{Q}의 정수환은 \mathbb{Z}이다.
이차 수체 \mathbb{Q(\sqrt d)}⁽¹⁾의 정수환은 d\equiv 1 \pmod{4}이면 \mathbb{Z[(1+\sqrt d)/2]}이고, d\equiv 2,3 \pmod{4}이면 \mathbb{Z[\sqrt d]}이다.
원분체 \mathbb{Q}(\zeta)⁽²⁾의 정수환은 \mathbb{Z}[\zeta]이다.
삼차 수체 \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})의 정수환은 \mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]이다.

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(1) d는 0이 아닌 제곱 인수가 없는 수

(2) \zeta는 primitive pth root of unity, p는 홀소수