Group cohomology
군과 이것의 모듈을 대상으로 한 코호몰로지이다.
목차
1. 정의
2. 간단한 성질
3. 영상
G가 군이면
G-module
M을
아벨 군이면서
G가 왼쪽에서 act하는 것이라 하자.
먼저
\cdots\to P_3\to P_2\to P_1\to \Bbb{Z}\to 0이라는 사영
\Bbb{Z}[G]-분해를 생각하자. 그러면 여기에 Hom functor를 씌우는 것으로
\text{Hom}(-,M)은 반변 함수자이므로
0\to \text{Hom}_{G}(\Bbb{Z},M)\to \text{Hom}_{G}(P_1,M)\to \text{Hom}_{G}(P_2,M)\to \text{Hom}_{G}(P_3,M)\to \cdots라는 공사슬 복합체를 만들 수 있다. 이를
K라고 하자. 여기에서
\Bbb{Z}[G]는
G의 군화이다. 이제
n번째 군 코모홀로지를
H^n(G,M):=H^n(K)라고 하자. 이는 위에서 잡은 모든 사영분해에 대해서 동형이라는 관점에서 유일하다.
2. 간단한 성질 ✎
다음이 성립한다. [H^0(G,M)=M^{G}:={ain M:sigma a=a;text{for all},sigmain G}] 그리고 0\to A\to B\to C\to 0이 G-modules의 짧은 완전열일 때
0\to H^0(G,A)\to H^0(G,A)\to H^0(G,C)\to H^1(G,A)\to H^1(G,B)\to H^1(G,C)\to H^2(G,A)\to H^2(G,B)\to H^2(G,C)\to\cdots
가 긴 완전열이 될 수 있다. 그 외에도 M^G=M이면 정의에 의해서 H^1(G,M)=\text{Hom}(G,M)이 된다.
이는 정의에 의해서 Ext functor의 특수한 경우로 볼 수 있고 H^n(G,M)=\text{Ext}^n_{\Bbb{Z}[G]}(\Bbb{Z},M)라고 할 수 있다.
