Gaussian Integral
다음과 같은 이상적분을 말한다.
\\int_{-\\infty}^\\infty e^{-x^2} dx =\\sqrt{\\pi}가우스 적분은 정규분포와 밀접한 연관이 있다. 통계학에서
정규분포의 확률밀도함수가 전 구간에서 적분했을 때 1이 되도록 만드는 상수가 바로 이 가우스 적분에서 유도된다.
가우스 적분을 계산하는 방법은 여러 가지가 있다.
1.1. 극좌표를 이용한 증명 ⊖
우선, 다음이 성립한다.
\\left(\\int_{-\\infty}^\\infty e^{-x^2} dx \\right)^2=\\int_{-\\infty}^\\infty e^{-x^2} dx \\int_{-\\infty}^\\infty e^{-y^2} dy =\\int_{-\\infty}^\\infty\\int_{-\\infty}^\\infty e^{-(x^2+y^2)}dxdy
주어진 적분을 실수평면 위의 적분으로 간주하고 극좌표 치환을 하자. 그러면
x=r\\cos\\theta, y=r\\sin\\theta, dxdy=rdrd\\theta 이 되고
\\int_{-\\infty}^\\infty\\int_{-\\infty}^\\infty e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\\int_0^{2\\pi}\\int_0^\\infty re^{-r^2} drd\\theta=\\pi
이다. 따라서
\\left(\\int_{-\\infty}^\\infty e^{-x^2} dx \\right)^2 = \\pi
이다. 그러므로
\\int_{-\\infty}^\\infty e^{-x^2} dx = \\pm\\sqrt{\\pi}
이다. 그런데 e^{-x^2}>0이므로, 주어진 적분도 양수가 되고 따라서 '+' 부호를 선택해야 한다.
