ℓp 공간 - 시드위키

ℓ^p 공간은 놈 |{a_k}|_p=sqrt[p]{sum_{n=1}^infty |a_n|^p}이 수렴하는 수열들의 집합으로 정의된다. ℓ^p 공간은 L^p 공간의 특수한 경우이다.

목차

1. ℓ^p 공간 사이의 포함관계
1.1. 증명

1. `ℓ`^p 공간 사이의 포함관계 ✎

1leq m < n < +infty인 m, n과 벡터 mathbf a={a_k}에 대하여,

ell^m = {mathbf a|  |mathbf a|_m = left( sum_{i=1}^infty |a_i|^mright)^{frac 1 m}<+infty equiv sum_{i=1}^infty |a_i|^m <+infty }

와

ell^n = {mathbf a|  |mathbf a|_n = left( sum_{i=1}^infty |a_i|^nright)^{frac 1 n}<+infty equiv sum_{i=1}^infty |a_i|^n <+infty }

사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

ell^m subset ell^n

1.1. 증명 ✎

ℓ^m 공간 안에 있는 어떤 벡터 mathbf a를 잡으면, mathbf a={a_k}in ell^m, 즉 (|mathbf a |_m)^m = sum |a_k|^m<+infty이므로 displaystylelim_{ktoinfty} (a_k)^m = 0이고 displaystylelim_{ktoinfty} a_k = 0이다.

따라서 자연수 집합 안에서 kgeq N rightarrow |a_k|<1인 적당히 큰 수 N를 잡을 수 있다. 이때 kgeq N에 대하여

|a_k|^2 leq |a_k| \ (|mathbf a|_2)^2 = sum_{i=1}^infty |a_k|^2 = sum_{i=1}^{N-1} |a_k|^2 +sum_{i=N}^infty |a_k|^2leq sum_{i=1}^{N-1} |a_k|^2 +sum_{i=N}^infty |a_k|

여기서 sum_{i=1}^{N-1} |a_k|^2는 유한한 값 유한 개를 더한 값이므로 유한하고, sum_{i=N}^infty |a_k|는 점점 0으로 가는 1보다 작은 수들의 합이므로 유한하다. ■

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1. ℓp 공간 사이의 포함관계 ✎

1.1. 증명 ✎

1. `ℓ`^p 공간 사이의 포함관계 ✎