ℓp 공간 - 시드위키

ℓ^p 공간은 놈 \|\{a_k\}\|_p=\sqrt[p]{\sum_{n=1}^\infty |a_n|^p}이 수렴하는 수열들의 집합으로 정의된다. ℓ^p 공간은 L^p 공간의 특수한 경우이다.

1. ℓ^p 공간 사이의 포함관계
1.1. 증명

1. `ℓ`^p 공간 사이의 포함관계 ✎

1\leq m < n < +\infty인 m, n과 벡터 \mathbf a=\{a_k\}에 대하여,

\ell^m = \{\mathbf a| \ \|\mathbf a\|_m = \left( \sum_{i=1}^\infty |a_i|^m\right)^{\frac 1 m}<+\infty \equiv \sum_{i=1}^\infty |a_i|^m <+\infty \}

와

\ell^n = \{\mathbf a| \ \|\mathbf a\|_n = \left( \sum_{i=1}^\infty |a_i|^n\right)^{\frac 1 n}<+\infty \equiv \sum_{i=1}^\infty |a_i|^n <+\infty \}

사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

\ell^m \subset \ell^n

1.1. 증명 ✎

ℓ^m 공간 안에 있는 어떤 벡터 \mathbf a를 잡으면, \mathbf a=\{a_k\}\in \ell^m, 즉 (\|\mathbf a \|_m)^m = \sum |a_k|^m<+\infty이므로 \displaystyle\lim_{k\to\infty} (a_k)^m = 0이고 \displaystyle\lim_{k\to\infty} a_k = 0이다.

따라서 자연수 집합 안에서 k\geq N \rightarrow |a_k|<1인 적당히 큰 수 N를 잡을 수 있다. 이때 k\geq N에 대하여

|a_k|^2 \leq |a_k| \\ (\|\mathbf a\|_2)^2 = \sum_{i=1}^\infty |a_k|^2 = \sum_{i=1}^{N-1} |a_k|^2 +\sum_{i=N}^\infty |a_k|^2\leq \sum_{i=1}^{N-1} |a_k|^2 +\sum_{i=N}^\infty |a_k|

여기서 \sum_{i=1}^{N-1} |a_k|^2는 유한한 값 유한 개를 더한 값이므로 유한하고, \sum_{i=N}^\infty |a_k|는 점점 0으로 가는 1보다 작은 수들의 합이므로 유한하다. ■

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1.1. 증명 ✎

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