Quadratic Gauss Sum
홀소수
p와 서로소인 정수
a, Primitive
pth root of unity인
\zeta에 대한 다음 꼴의 합을 말한다.
\sum_{n=0}^{p-1} \zeta^{a\cdot n^2}=\zeta^{a\cdot0^{2}}+\zeta^{a\cdot1^{2}}+...+\zeta^{a(p-1)^{2}}
목차
1. 표현
2. 르장드르 기호
3. 절댓값
3.1. g(a)
3.1.1. 증명
3.2. |g(1)|
3.2.1. 증명
4. 이차 상반법칙
5. 보기
일반적으로 이차 가우스 합은
\displaystyle G(k;p)=\sum_{n=0}^{p-1} \zeta^{k\cdot n^2}로 표기하며, 다음과 같은 형태를 띤다.
G(k;n)=\sum_{r=1}^n e^{2\pi ikr^2/n}
하지만
m과
n이 서로소일 때
G(k;mn)=G(km;n)G(kn;m)이고,
p\nmid k인 홀소수
p와
a\geq2에 대해
G(k;p^a)=pG(k;p^{a-1})임에서
G(k;p^a)=\begin{cases}p^{a/2}&\text{if } a \text{ is even}\\ p^{(a-1)/2}G(k;p)&\text{if } a \text{ is odd}\end{cases}
가 성립하므로
p\nmid k인 홀소수
p에 대해
G(k;p) 의 성질은 매우 중요하다.
2. 르장드르 기호 ✎
이차 가우스 합은 다음과 같이
르장드르 기호로 나타낼 수 있다.
\zeta^{a\cdot0^{2}}+\zeta^{a\cdot1^{2}}+...+\zeta^{a\cdot(p-1)^{2}}=1+2\sum_{n\in QR}^{ }\zeta^{an} (QR: 이차 잉여, QNR: 이차 비잉여)=1+(\sum_{n\in QR}^{ }\zeta^{an}+\sum_{n\in QR}^{ }\zeta^{an})+(\sum_{n\in QNR}^{ }\zeta^{an}-\sum_{n\in QNR}^{ }\zeta^{an})=(\sum_{n\in QR}^{ }\zeta^{an}-\sum_{n\in QNR}^{ }\zeta^{an})+(1+\sum_{n\in QR}^{ }\zeta^{an}+\sum_{n\in QNR}^{ }\zeta^{an})=(\sum_{n\in QR}^{ }1\cdot \zeta^{an}-\sum_{n\in QNR}^{ }(-1)\cdot \zeta^{an})+\sum_{n=0}^{p-1}\zeta^{an}=\sum_{n=1}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right)\zeta^{an}
g(a) = \zeta^{a\cdot0^{2}}+\zeta^{a\cdot1^{2}}+...+\zeta^{a(p-1)^{2}} =\sum_{n=1}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right)\zeta^{an} 이라고 하자.
g(a) = \left(\frac{a}{p}\right) g(1)
\left(\frac{a}{p}\right) g(a) = \left(\frac{a}{p}\right)\sum_{n=1}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right)\zeta^{an} = \sum_{n=1}^{p-1}\left(\frac{an}{p}\right)\zeta^{an} = \sum_{l=1}^{p-1}\left(\frac{l}{p}\right)\zeta^{l} = g(1)\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{a}{p}\right)g(a) = \left(\frac{a}{p}\right) g(1)\therefore g(a) = \left(\frac{a}{p}\right) g(1)
|g(1)| = \sqrt{(-1)^{\frac{p-1}{2}}p}
\sum_{a=0}^{p-1}g(a)g(-a)의 값을 두 가지 방법으로 구해 보자.
\textup{(i)} \sum_{a=0}^{p-1}g(a)g(-a) = \sum_{a=0}^{p-1}\left(\frac{a}{p}\right)g(1)\cdot\left(\frac{-a}{p}\right)g(1)= \sum_{a=1}^{p-1}\left(\frac{-1}{p}\right)\{g(1)\}^{2}= (p-1)\left(\frac{-1}{p}\right)\{g(1)\}^{2}
\textup{(ii)} \sum_{a=0}^{p-1}g(a)g(-a)= \sum_{a=0}^{p-1}(\sum_{n=1}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right)\zeta^{an}\cdot\sum_{n=1}^{p-1}\left(\frac{m}{p}\right)\zeta^{am})= \sum_{a=0}^{p-1}\sum_{n=1}^{p-1}\sum_{m=1}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right)\left(\frac{m}{p}\right)\zeta^{a(n-m)}= \sum_{n=1}^{p-1}\sum_{m=1}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right)\left(\frac{m}{p}\right)\sum_{a=0}^{p-1}\zeta^{a(n-m)}= \sum_{n=1}^{p-1}\sum_{1\leq m\leq p-1, m\neq n}^{ }\left(\frac{n}{p}\right)\left(\frac{m}{p}\right)\sum_{a=0}^{p-1}\zeta^{a(n-m)}+\sum_{n=1}^{p-1}\sum_{1\leq m\leq p-1, m=n}^{ }\left(\frac{n}{p}\right)\left(\frac{m}{p}\right)\sum_{a=0}^{p-1}\zeta^{a(n-m)}= 0 +\sum_{n=1}^{p-1}\sum_{m=n}^{ }\left(\frac{m}{p}\right)\left(\frac{m}{p}\right)\sum_{a=0}^{p-1}1= 0 +\sum_{n=1}^{p-1}p= p(p-1)
\textup{(i), (ii)}에서
(p-1)\left(\frac{-1}{p}\right)\{g(1)\}^{2} = p(p-1)\{g(1)\}^{2} = \left(\frac{-1}{p}\right)p = (-1)^{\frac{p-1}{2}}p\therefore |g(1)| = \sqrt{(-1)^{\frac{p-1}{2}}p}
g(1)의 부호를 정하는 것은 그 절댓값을 구하는 것보다 훨씬 어려운 문제이다.
4. 이차 상반법칙 ✎
아래와 같은 방법으로 이차 상반법칙을 증명할 수 있다.
g(a) = \zeta^{a\cdot0^{2}}+\zeta^{a\cdot1^{2}}+...+\zeta^{a(p-1)^{2}} =\sum_{n=1}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right)\zeta^{an} 이라고 하자.
p와 서로소인 홀소수
q에 대해
\{g(1)\}^{q}를 두 가지 방법으로 정리하자.
\textup{(i)}\ \{g(1)\}^{q} = \{ \sum_{n=1}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right)\zeta^{n} \} ^{q}\equiv \sum_{n=1}^{p-1}\{\left(\frac{n}{p}\right)\zeta^{n}\} ^{q} = \sum_{n=1}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right) ^{q}\zeta^{nq} = \sum_{n=1}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right) \zeta^{nq}= \sum_{n=1}^{p-1}\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{n}{p}\right) \zeta^{nq} = \left(\frac{q}{p}\right)\sum_{n=1}^{p-1}\left(\frac{nq}{p}\right)\zeta^{nq}= \left(\frac{q}{p}\right)\sum_{l=1}^{p-1}\left(\frac{l}{p}\right)\zeta^{l} = \left(\frac{q}{p}\right)g(1) \; (mod\; q)
\textup{(ii)}\ \{g(1)\}^{q} = g(1)\cdot[\{g(1)\}^{2}]^{ \frac{q-1}{2} } = g(1)\cdot\{(-1)^{\frac{p-1}{2}}p\}^{ \frac{q-1}{2} } = g(1)\cdot(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}p^{ \frac{q-1}{2} } \equiv g(1)\cdot(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\left(\frac{p}{q}\right)\; (mod\; q)
\textup{(i), (ii)}에서
\left(\frac{q}{p}\right)g(1) \equiv g(1)\cdot(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\left(\frac{p}{q}\right) \; (mod\; q)\left(\frac{q}{p}\right) \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\left(\frac{p}{q}\right) \; (mod\; q)\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} \; (mod\; q)\therefore \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\; \; (\because \left(\frac{p}{q}\right), \left(\frac{q}{p}\right), (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} \in \{1, -1\})
따라서 이차 상반법칙이 증명된다.
- 가우스 합
G(\chi)=\tau(\chi)=\tau_\chi
