Logarithm

고정된 밑을 몇 번 곱하여야 특정한 수가 되는지를 나타내는 함수이다.

목차

1. 정의
2. 성질
3. 로그함수
4. 복소로그
5. 영상

1. 정의 ✎ ⊖

양수 a (\\neq 1)를 b(>0)번 곱하여(a^b) N이 될 때, 이러한 관계는 다음과 같이 나타난다.

\\log_a N = b

이때 a를 밑, N을 진수라 한다.

밑이 10인 로그는 상용로그(Common logarithm), 밑이 e(자연상수)인 로그는 자연로그(Natural logarithm)로 불린다. 교과 수학에서 전자는 \\log, 후자는 \\ln으로 표기하며, 이후 상용로그는 잘 쓰이지 않기 때문에 일반적으로 자연로그를 \\log로 표기한다.

2. 성질 ✎ ⊖

1이 아닌 양수 a, b, c 와 양수 M, N에 대해 다음이 성립한다.
  • \\log_a MN = \\log_a M + \\log_a N
  • \\log_a M=\\alpha, \\log_a N= \\beta이면 a^\\alpha=M, a^\\beta=N에서 지수법칙에 의해 a^{\\alpha+\\beta}=MN이므로 \\log_a MN=\\alpha + \\beta 이다.
  • \\log_a \\frac{M}{N} = \\log_a M - \\log_aN
  • \\log_a M=\\alpha, \\log_a N= \\beta이면 a^\\alpha=M, a^\\beta=N에서 지수법칙에 의해 a^{\\alpha-\\beta}=\\frac{M}{N}이므로 \\log_a \\frac{M}{N}=\\alpha - \\beta 이다.
  • \\log_a N^k = k \\log_a N (k는 실수)
  • \\log_a N=\\alpha이면 a^\\alpha = N에서 (a^\\alpha)^k=N^k이므로 \\log_a N^k = k \\alpha이고 이는 k \\log_a N = k \\alpha 와 같다.
  • \\log_{a^m} b^n = \\frac{n}{m} \\log_a b (m\\neq 0)
  • n\\log_{a^m} b = n\\alpha 이면 (a^m)^\\alpha = b 에서 지수법칙에 의해 a^{m\\alpha}=b 이고 \\log_a b = m\\alpha에서 \\log_{a^m} b=\\frac{1}{m}\\log_{a} b이므로 \\log_{a^m} b^n = \\frac{n}{m} \\log_a b 가 성립한다.
  • \\log_a N = \\frac{\\log_b N}{\\log_b a}
  • \\log_b N = \\alpha, \\log_b a = \\beta 이면 b^\\alpha=N, b^\\beta=a 이므로 \\log_a N = \\log_{b^\\beta} b^{\\alpha}=\\frac{\\alpha}{\\beta}\\log_b b 에서 이는 \\frac{\\log_b N}{\\log_b a}와 같다.
  • a^{\\log_c b} = b^{\\log_c a}
  • 양변에 밑이 c인 로그를 취하면 \\log_c b \\log_c a = \\log_c a \\log_c b 이므로 성립한다.

3. 로그함수 ✎ ⊖

y=\\log_a x\\ (a>0, a\\neq 1) 꼴의 함수를 로그함수라고 한다. 이는 거듭제곱을 함수로 나타낸 y=a^x 꼴의 역함수라고도 할 수 있다.

4. 복소로그 ✎ ⊖

복소로그(Complex logarithm)는 밑이 e일 때 진수의 정의역을 복소수로 확장한 것이다. 이는 복소지수의 역함수로 정의된다.

5. 영상 ✎ ⊖