체(體, Field)는 사칙연산을 시행할 수 있는 대수적 구조로 가환 나눗셈환이다.
목차
1. 정의
2. 사체
3. 예시
4. 영상
체
(R,+,⋅)는 환이다. 따라서 다음이 성립한다.
- (A1, 덧셈에 대한 교환성)
∀x∀y:x+y=y+x - (A2, 덧셈에 대한 결합법칙)
∀x∀y:∀z (x+y)+z=x+(y+z) - (A3, 덧셈의 항등원)
∃0∀x:0+x=x+0=x - (A4, 덧셈의 역원)
∀x∃y:x+y=y+x=0 - (M1, 곱셈에 대한 결합법칙)
∀x∀y∀z:(x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z) - (M2, 곱셈의 항등원)
∃1∀x:1⋅x=x⋅1=x - (D1, 좌분배법칙)
∀x∀y∀z:x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅z - (D2, 우분배법칙)
∀x∀y∀z:(x+y)⋅z=x⋅y+x⋅z
R이 체란 것은 다음 체의 공리를 추가로 만족한다는 것을 말한다:
- (M2, 곱셈의 항등원)
1≠0 - (M3, 곱셈에 대한 교환성)
∀x∀y:x⋅y=y⋅x - (M4, 곱셈의 역원)
∀x≠0 ∃ \frac{1}{x} : x\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x} \cdot x=1
체의 정의에서 곱셈에 대한 교환성이 성립하지 않아도 되는 대수적 구조를 사체(斜體, Skew field)라고 한다.
사체를 체라고 할 수도 있는데, 그런 경우에는 곱셈에 대한 교환성이 성립하는 체를 가환체(可換體, Commutative field)라고 한다.
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