Quadratic equation
다항방정식 중 하나로 다음 꼴의 방정식을 말한다.
ax^2+bx+c=0
여기서
aneq 0이다.
1. 근의 공식 ✎
이차방정식
ax^2+bx+c=0 (aneq 0) 에 대하여
x^2+frac{b}{a}x=-frac{c}{a}x^2+frac{b}{a}x+frac{b^2}{4a^2}=-frac{c}{a}+frac{b^2}{4a^2}(x+frac{b}{2a})^2=-frac{b^2-4ac}{4a^2}therefore x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}
이므로 이차방정식의 두 근을 구할 수 있다. 이를 이차방정식의 근의 공식이라고 한다.
일차항의 계수가 짝수인 이차방정식
ax^2+2b'x+c=0 (aneq 0) 은 특별히 근의 공식에서
b=2b' 로 놓으면
x=frac{-2b'pmsqrt{4b'^2-4ac}}{2a}=frac{-b'pmsqrt{b'^2-ac}}{a}
이므로 더 간단한 방법으로 이차방정식의 두 근을 구할 수 있다. 이를 짝수 공식이라고도 한다.
2. 근과 계수 사이의 관계 ✎
이차방정식
ax^2+bx+c=0 (aneq 0)의 두 근을
alpha,
beta 라 하자.
이차방정식의 근
x=frac{-bpm sqrt{D}}{2a} (D=b^2-4ac) 의 두 근을 더하면
alpha+beta = frac{-b+sqrt{D}}{2a} + frac{-b- sqrt{D}}{2a}=-frac{b}{a}
이고 두 근을 곱하면
alphabeta = frac{-b+sqrt{D}}{2a}centerdotfrac{-b- sqrt{D}}{2a} = frac{b^2-D}{4a^2} = frac{4ac}{4a^2} = frac{c}{a}
이다.
이차방정식
ax^2+bx+c=0 (aneq 0) 의 판별식은 근의 공식에서 근호가 있어 근의 갯수를 결정하는
b^2-4ac 이다.
b^2-4ac >0 이면 서로 다른 실근을 2개 갖는다.b^2-4ac =0 이면 이중근인 실근 1개를 갖는다.b^2-4ac<0 이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.
4. 이차방정식의 작성 ✎
식의 값을 0으로 만드는 미지수의 값이 근이므로 두 근이
alpha, beta 인 이차방정식은
a(x-alpha)(x-beta)=0 (
aneq 0는 이차항의 계수)라고 쓸 수 있다.
따라서 모든 이차식
ax^2+bx+c (aneq 0)은
복소수 범위에서
a(x-frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a})
로 인수분해됨을 알 수 있다.
