Quartic equation
다항 방정식 중 하나로 다음 꼴의 방정식을 말한다.
ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0
여기서
aneq 0이다.
1. 근의 공식 ✎
일반적인 복소계수 4차방정식 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (a neq 0)을 생각하자.
적당한 t in Bbb C에 대하여 displaystyle z=x-frac{b}{4a}로 치환하고 4차항의 계수로 방정식을 나누면 z^4+pz^2+qz+r=0 꼴의 방정식을 얻을 수 있다.
w in Bbb C에 대하여 (z^2+w)^2 = (2w-p){z}^2-qz+w^2-r가 되는데, 우변의 판별식이 0인 w를 3차방정식을 풀어 구하면 우변을 완전제곱식꼴로 고칠 수 있고, 따라서 두 개의 이차방정식으로 나눠진 4차방정식을 풀어 해를 구할 수 있다.
이를 이용하면 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (a neq 0)의 해가
x = {frac{-a}{4}}
pmfrac{1}{2}{sqrt{frac{a^2}{4}-frac{2b}{3}+frac{2^{frac{1}{3}}left(b^2-3ac+12dright)}{3{left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{sqrt{-4{left(b^2-3ac+12dright)}^3+{left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bdright)}^2}}right)}^{frac{1}{3}}}+left(frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{sqrt{-4{left(b^2-3ac+12dright)}^3+{left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bdright)}^2}}}}{54}right)^frac{1}{3}}}
pmfrac{1}{2}{sqrt{frac{a^2}{2}-frac{4b}{3}-frac{2^{frac{1}{3}}left(b^2-3ac+12dright)}{3{left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{sqrt{-4{left(b^2-3ac+12dright)}^3+{left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bdright)}^2}}right)}^{frac{1}{3}}}-left(frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{sqrt{-4{left(b^2-3ac+12dright)}^3+{left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bdright)}^2}}}}{54}right)^frac{1}{3}-frac{-a^3+4ab-8c}{4{sqrt{frac{a^2}{4}-frac{2b}{3}+frac{2^{frac{1}{3}}left(b^2-3ac+12dright)}{3{left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{sqrt{-4{left(b^2-3ac+12dright)}^3+{left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bdright)}^2}}right)}^{frac{1}{3}}}+left(frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{sqrt{-4{left(b^2-3ac+12dright)}^3+{left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bdright)}^2}}}}{54}right)^frac{1}{3}}}}}}
임을 알 수 있다.
사차 방정식
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e=0 (a neq 0)의 판별식은
D=-27b^4e^2+16c^4ae-27d^4a^2+256a^3e^3+18b^3cde-4b^3d^3-4c^3b^2a-4c^3b^2e+18d^3abc-128a^2c^2e^2+144a^2d^2ce-192a^2e^2bd+b^2c^2d^2-6b^2d^2ae+144b^2e^2ac-80c^2abde
이다.
