Polynomial
x^2+8x+7과 같이, 미지의
x와 그 계수의 곱들의 합의 표현이다.
임의의 환
R의 원소
a_0,a_1,a_2,cdots,a_n과
R의 원소가 아닌
x에 대해
a_0+a_1x+a_2x^2+cdots+a_nx^n꼴의 식을 다항식이라고 한다. 이때
x를 부정원
(1)이라 하고,
x를 부정원으로 삼는 모든 다항식들의 집합을
R[x]라 한다.
다항식
f(x)=sum_{i=0}^n a_ix^i,
g(x)=sum_{i=0}^n b_ix^i의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 주어진다.
displaystyle f(x)+g(x)=sum_{k=0}^n(a_k+b_k)x^kdisplaystyle f(x)g(x)=sum_{k=0}^nleft(sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}right)x^k
3. 무한수열을 이용한 다항식의 구성 ✎
환 R의 원소를 계수로 가지는 다항식은 무한수열로 정의한다.
left(a_0,a_1,a_2,cdotsright)
단, a_0,a_1,a_2,cdotsin R이며 영이 아닌 a_i는 유한 개이다. 다시 말해 어떤 자연수 k가 존재하여 임의의 양의 정수 i>k에 대해 a_i=0이다.
P를 항등원이 있는 환 R의 원소를 계수로 가지는 모든 다항식의 집합이라 하자. P 위의 연산 +와 cdot을 다음과 같이 정의한다.
(a_0,a_1,a_2,cdots)+(b_0,b_1,b_2,cdots)=(a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2,cdots)
(a_0,a_1,a_2,cdots)cdot(b_0,b_1,b_2,cdots)=(c_0,c_1,c_2,cdots)
이때, displaystyle c_n=sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}이다. 이때 +와 cdot가 잘 정의되어 있음이 알려져 있다. P는 항등원이 있는 환이며, R이 가환이면 P 또한 가환이다.
R^*을 모든 (r,0,0,cdots)in P들의 집합으로 정의하면 R^*는 P의 부분환이고 R과 동형이다.
mathbf{a}in R^*를 다음과 같이 정의한다.
mathbf{a}=(a,0_R,0_R,cdots)
R이 항등원이 있는 환이면, xin P를 다음과 같이 정의한다.
x=(0_R,1_R,0_R,cdots)
그러면
x^n=(0_R,cdots,1_R,0_Rcdots)
mathbf{a}x^n=(0_R,cdots,a,0_Rcdots)
을 얻는다. 이때 1_R은 수열의 n번째 자리에 있다.
4. 다항함수의 유도 ✎
R을 가환환이라 하자. 다항식 a_0+a_1x+cdots+a_nx^nin R[x]에 대해, 함수 f:Rto R을 다음과 같이 정의한다.
(forall rin mathbb{R})[f(r)=a_0+a_1r+a_2r^2+cdots+a_nr^n]
이때, f를 다항함수라고 한다.
- Hungerford, T. (2014). Abstract algebra: An introduction (3rd ed., International ed.). Australia: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 1111573336
