Polynomial
수학의 가장 기초적이면서도 강력한 도구 중 하나로,
x^2+8x+7과 같이, 미지의
x와 그 계수의 곱들의 합의 표현이다. 일반적인 대수학뿐만 아니라 함수를 근사하거나 복잡한 시스템을 모델링하는 공학적 응용 분야에서도 핵심적인 역할을 한다.
흔히 중·고등학교 과정에서는 "변수
x의 차수가 자연수인 항들의 합"으로 직관적으로 정의한다. 여기서
x의 가장 높은 차수를 그 다항식의 차수(degree)라고 하며, 그 차수를 가진 항의 계수를 최고차항의 계수라고 부른다.
목차
1. 정의
2. 연산
3. 무한수열을 이용한 다항식의 구성
3.1. 정의
3.2. 연산
3.3. 계수와 부정원
4. 다항함수의 유도
5. 참고문헌
6. 영상
7. 트리비아
임의의 환
R의 원소
a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n과
R의 원소가 아닌
x에 대해
a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n꼴의 식을 다항식이라고 한다. 이때
x를 부정원
(1)이라 하고,
x를 부정원으로 삼는 모든 다항식들의 집합을
R[x]라 한다.
다항식
f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i,
g(x)=\sum_{i=0}^n b_ix^i의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 주어진다.
\displaystyle f(x)+g(x)=\sum_{k=0}^n(a_k+b_k)x^k\displaystyle f(x)g(x)=\sum_{k=0}^n\left(\sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}\right)x^k
덧셈과 곱셈은 익숙하지만, 다항식의 나눗셈(조립제법)을 처음 배울 때 많은 학생들이 좌절을 맛보곤 한다. 특히
f(x)를
g(x)로 나눈 나머지를 구하는 나머지 정리는 고교 과정에서 수험생들을 괴롭히는 단골 소재이기도 하다.
3. 무한수열을 이용한 다항식의 구성 ✎
환 R의 원소를 계수로 가지는 다항식은 무한수열로 정의한다.
\left(a_0,a_1,a_2,\cdots\right)
단, a_0,a_1,a_2,\cdots\in R이며 영이 아닌 a_i는 유한 개이다. 다시 말해 어떤 자연수 k가 존재하여 임의의 양의 정수 i>k에 대해 a_i=0이다.
P를 항등원이 있는 환 R의 원소를 계수로 가지는 모든 다항식의 집합이라 하자. P 위의 연산 +와 \cdot을 다음과 같이 정의한다.
(a_0,a_1,a_2,\cdots)+(b_0,b_1,b_2,\cdots)=(a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots)
(a_0,a_1,a_2,\cdots)\cdot(b_0,b_1,b_2,\cdots)=(c_0,c_1,c_2,\cdots)
이때, \displaystyle c_n=\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}이다. 이때 +와 \cdot가 잘 정의되어 있음이 알려져 있다. P는 항등원이 있는 환이며, R이 가환이면 P 또한 가환이다.
R^*을 모든 (r,0,0,\cdots)\in P들의 집합으로 정의하면 R^*는 P의 부분환이고 R과 동형이다.
\mathbf{a}\in R^*를 다음과 같이 정의한다.
\mathbf{a}=(a,0_R,0_R,\cdots)
R이 항등원이 있는 환이면, x\in P를 다음과 같이 정의한다.
x=(0_R,1_R,0_R,\cdots)
그러면
x^n=(0_R,\cdots,1_R,0_R\cdots)
\mathbf{a}x^n=(0_R,\cdots,a,0_R\cdots)
을 얻는다. 이때 1_R은 수열의 n번째 자리에 있다.
4. 다항함수의 유도 ✎
R을 가환환이라 하자. 다항식 a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\in R[x]에 대해, 함수 f:R\to R을 다음과 같이 정의한다.
(\forall r\in \mathbb{R})[f(r)=a_0+a_1r+a_2r^2+\cdots+a_nr^n]
이때, f를 다항함수라고 한다.
- Hungerford, T. (2014). Abstract algebra: An introduction (3rd ed., International ed.). Australia: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 1111573336
해석학에서는 복잡한 함수를 다항식들의 합으로 근사하는 테일러 급수를 사용한다. 우리가 흔히 보는 사인, 코사인, 지수함수 등도 차수가 무한대인 다항식으로 표현할 수 있다는 점은 다항식의 범용성을 잘 보여준다.
