수학에서 놈(norm, 노름)은 벡터공간의 벡터에 거리나 크기 개념을 도입하기 위한 함수로, 주로 선형대수학에서 쓰인다.
목차
1. 일반적인 정의
2. \mathbb{C}^n에서의 놈
3. 참고문헌
4. 영상1. 일반적인 정의 ✎
V를
\mathbb{C}의 부분
체 F 위에서 정의된 벡터공간이라 하자. 함수
||\cdot||:V\to\mathbb{R}이 모든
\mathbf{x},\mathbf{y}\in V와 모든
c\in F에 대해
(1)
||\mathbf{x}|| \ge 0(1a)
||\mathbf{x}||=0 \Leftrightarrow \mathbf{x}=\mathbf{0}(2)
||c\mathbf{x}||=|c|||\mathbf{x}||(3)
||\mathbf{x}+\mathbf{y}||\le ||\mathbf{x}|| +||\mathbf{y}||를 만족하면
||\cdot||를 놈이라 한다. (1), (2), (3)의 조건을 충족하는 함수는 세미놈(Seminorm)이라 한다.
2. \mathbb{C}^n에서의 놈 ✎
\mathbb{C}^n의 원소
\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1 & \cdots & x_n\end{bmatrix}^T에 대해,
- ℓ1 놈
\| \mathbf x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i| - ℓ2 놈(유클리드 놈)
\| \mathbf x\| =\| \mathbf x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} - ℓp 놈(일반화)
\displaystyle \| \mathbf x\|_p = \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n {x_i}^p}
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
