Proper base change theorem

먼저 X와 Y를 noetherian scheme이라고 하고 \\mathscr{F}를 Y의 torsion sheaf라고 하자. 그리고 우리는 다음 Cartesian diagram을 만들자.

\\begin{aligned} &X\\!\\times_{S}\\!Y\\overset{f'}{\\longrightarrow} Y \\\\ &\\;\\;\\;\\;\\;\\downarrow \\!{}_{g'} \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\downarrow \\!{}_{g} \\\\ &\\;\\;\\;\\;\\;X \\underset{f}{-\\!\\!\\!-\\!\\!\\!-\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\longrightarrow} S\\end{aligned}

이 때 f:X\\to S쪽이 proper morphism이면 다음이 성립한다.

g^{*}(R^nf_{*}\\mathscr{F})=R^nf^{'}_{*}({g^{'}}^{*}\\mathscr{F})

g^{*}와 g_{*}는 서로 adjoint functor 관계이므로 \\mathscr{F}\\to g'_{*}g'^{*}\\mathscr{F}이고 양변에 f_{*}를 씌우면

f_{*}\\mathscr{F}\\to g_{*}g^{*}f_{*}\\mathscr{F}\\to g_{*}f'_{*}g'^{*}\\mathscr{F}

이라는 natural morphism을 만들 수 있게 된다. 이제 같은 방법으로

g^{*}f_{*}\\mathscr{F}\\to f'_{*}g'^{*}\\mathscr{F}

라는 natural morphism을 쉽게 얻을 수 있다. 이 방법하고 비슷하게 derived category로

g^*(\\mathrm{R}f_{*}\\mathscr{F}^{\\bullet})\\to \\mathrm{R}f'_{*}(g'^{*}\\mathscr{F}^{\\bullet})

라는 natural morphism을 얻을 수 있게 된다. 여기에서 \\mathscr{F}^{\\bullet}은 Y의 bounded below인 sheaf들의 complex다.

proper base change theorem의 의미는 이 natural morphism을 등호로. 그러니까 isomorphism으로 만들 수 있다는 정리다. 그렇기 때문에 이 정리는 뭔가를 바꿔야만 할 대 아주 자주 쓰이며 étale cohomology의 기본이 되는 정리다.

이 정리를 이용하면 X가 complete variety on separable closed field이고 \\mathscr{F}가 X에서 constructible일 때 H_{ét}^n(X,\\mathscr{F})가 finite라는 정리를 만들 수 있다. 그리고 이는 proper base change theorem과 동시에 증명된다.

우리는 먼저 증명을 쉽게 하기 위해서 case를 줄여보자. inverse limit를 쓰면 limit theorem이라는 것에 의해서 Y를 finite generated라고 할 수 있다. 그리고 우리는 stalk에 대해서만 isomorphism을 증명해도 증명하려는 것의 등호를 만들 수 있으므로 stalk로 관심을 옮길텐데

y:\\text{Spec}\\,k\\to Y

가 geometric point라고 하고

Y(t):=\\text{Spec}\\,\\tilde{\\mathcal{O}}_{Y,y}

를 생각하자. 여기에서 \\tilde{\\mathcal{O}_{Y,y}}는 \\mathcal{O}_{Y,y}의 strict local ring이다.

우리는 \\mathscr{G}를 X_{Y}의 sheaf라고 하자.

그러면 \\mathscr{F}(t)를 X_{Y}\\times _{Y}Y(t)\\to X_{Y}의 inverse image로 \\mathscr{G}를 보낸 것이라고 하면 우리는 다음을 알 수 있다.

(R^nf'_{*}\\mathscr{G})_{t}=H^{n}(X_{Y}\\times_{Y}Y(t),\\mathscr{G}(t))

우리는 이것에 대해서만 증명해주면 되는 것이다. 다른 쪽에서도 똑같이 해주면 우리는 이 두 case에 대해서만 증명해주면 된다.

S를 \\text{Spec}\\,k라고 두고 Y=\\text{Spec}\\,K이다. 여기에서 K는 k의 finite algebraic extension이다. 물론 k는 separably closed이다.

S는 strictly Henselian ring의 spectrum이고 Y는 그 ring의 residue field의 spectrum이다.

여기에서 첫번째 경우는 쉽게 증명할 수 있으므로 여기에서는 두 번째에 대해서만 증명하도록 하겠다.

이제 위의 strictly Henselian ring을 A라고 하고 S를 A의 spectrum이라고 하자.

k를 A의 residue field라고 하고 s:\\text{Spec}\\,k\\to S를 geometric point라고 하자.

그러면 우리는 X_s:=X\\times \\text{Spec}\\,k라고 하고 \\mathscr{F}_{s}을 \\mathscr{F}을 X_{s}\\to X의 inverse로 보낸 것이라고 하면

H^n(X,\\mathscr{F})=H^n(X_{s}\\mathscr{F}_{s})

임을 증명하면 된다.

이 상황을 위의 상황과 대치시켜본다면 X_{Y}\\times_{Y}Y(y)=X\\times \\text{Spec}\\,k가 되었으니 A=\\tilde{\\mathcal{O}}_{Y,y}라고 두고 \\mathscr{G}(t)=\\mathscr{F}_{s}=\\mathscr{G}_{s}라고 두었다고 할 수 있다.

우리는 X_s의 dimension에 때해서 생각해 볼 텐데 X_s의 dimension이 0,1이라면 다음이 성립한다.

\\dim{X_s}\\le 1이라고 하자.

그러면 k가 \\mathcal{O}_{X}에서 invertible이면 H^n(X,\\Bbb{Z}/k\\Bbb{Z})\\to H^n(X_s,\\Bbb{Z}/k\\Bbb{Z})는 n이 0이면 bijective가 되고 n\\ge 1이면 surjective가 된다.

먼저 n\\ge 3이면 모두 0이 되므로 생각할 필요가 없고 n=0일 때는 Zariski's main theorem하고 똑같고 n=1일 때는 X_s의 Galois covering을 생각하면 된다. 자세한 건 밑에서 설명하겠다.

A의 maximal ideal을 \\mathfrak{m}이라고 하고 A/\\mathfrak{m}^n을 생각하자. 그리고 다음 정리를 보자.

X_s의 Galois covering은 모두 X_k=X\\otimes \\varprojlim A/\\mathfrak{m}^k으로 확장할 수 있다.

이제 우리는 이 정리를 바탕으로 다음을 전개하자.

B를 noetherian A-algebra라고 하면 F(B)를 X\\otimes B의 isomorphic classes of Galois covering이라고 하자. 그러면 F는 functor가 되며 locally of finite prosentable이 된다. 그러니까 inverse limit를 안으로 넣을 수 있게 된다. 이것으로 Artin approximation theorem를 쓰면 n=1일 때의 증명을 얻을 수 있다.

이제 i=2일 때만 증명하면 되는데 다음 commutative diagram을 보자.

\\begin{aligned} &\\text{Pic}\\,X\\longrightarrow H^2(X,\\mu_n) \\\\ & \\;\\;\\; \\downarrow \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\downarrow \\\\ & \\text{Pic}\\,X_{s}\\longrightarrow H^2(X_s,\\mu_{n}),\\end{aligned}

이는 Hilbert theorem 90과 0\\to \\mu_n\\to \\mathcal{O}^{\\times}_{X}\\to \\mathcal{O}^{\\times}_{X}\\to 0이라는 exact sequence로 쉽게 얻어낼 수 있다. 이 때 왼쪽이 surjective가 되게 하고 이를 오른쪽 줄로 옮기고 싶다. 그러므로 우리는 다음을 증명해야 한다.

모든 X_s의 invertible sheaf는 X로 옮길 수 있다.

이것을 증명하면 k를 separably closed라고 하면 A는 Henselian이므로 primitive n-root of unity를 모두 가지게 되고 \\mu_n를 \\Bbb{Z}/n\\Bbb{Z}로 바꿀 수 있게 되면서 i=2일 때에도 증명이 끝난다.

이를 증명하는 데 exact sequence를 하나 만들 텐데 \\mathscr{I}:=\\text{Ker}\\,(\\mathcal{O}_{X_{k+1}}\\to \\mathcal{O}_{X_{k}})라고 하자. 그러면

0\\to \\mathscr{I}\\to \\mathcal{O}^{\\times}_{X_{k+1}}\\to \\mathcal{O}^{\\times}_{X_k}\\to 0

임을 알 수 있고 \\mathscr{I}가 coherent이므로 H^2(X_s,\\mathscr{I}))는 터지게 된다. 이것이 터진다는 것은 바로

H^1(X_s,\\mathcal{O}^{\\times}_{X_{k+1}})\\to H^1(X_s,\\mathcal{O}^{\\times}_{X_k})

의 surjective성을 말하고 이것으로 n=2일 때의 증명이 끝났다.

이는 손쉽게 constructible sheaf로 옮길 수 있고 정리하면 이렇게 된다.

\\mathscr{F}가 X에서 \\Bbb{Z}/n\\Bbb{Z}-module의 constructible sheaf라고 한다. 그러면 적당한 \\mathscr{G}가 있어서 \\mathscr{F}를 subsheaf로 만들고 n=0일 때 H^0(X,\\mathscr{G}_s)=H^0(X,\\mathscr{G}_s)가 되고 H^n(X,\\mathscr{G})\\to H^n(X_s,\\mathscr{G}_s)는 surjective가 된다.

이제 먼저 \\mathscr{G}를 \\mathscr{F}로 바꾸고 surjective를 isomorphic, 즉 화살표를 등호로 만들어야 하는데 등호로 만들려면 injective가 필요하다. \\mathscr{G}를 \\mathscr{F}로 바꾸는 것은 쉬운 편으로

\\begin{aligned} &0-\\!\\!\\!-\\!\\!\\!\\!\\!\\longrightarrow H^0(X,\\mathscr{F})-\\!\\!\\!-\\!\\!\\!\\!\\!\\longrightarrow H^0(X,\\mathscr{G})-\\!\\!\\!-\\!\\!\\!\\!\\!\\longrightarrow H^0(X,\\mathscr{G}/\\mathscr{F}) \\\\ &\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\downarrow \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\downarrow \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\downarrow \\\\ &0\\longrightarrow H^0(X_s,\\mathscr{F}_s)\\longrightarrow H^0(X_s,\\mathscr{G}_s)\\longrightarrow H^0(X_s,\\mathscr{G}_s/\\mathscr{F}_{s})\\end{aligned}

라는 commutative diagram을 보면 손쉽게 H^0(X,\\mathscr{F})\\to H^0(X_s,\\mathscr{F}_s)쪽이 injective임을 알아챌 수 있으며 같은 원리로 H^0(X,\\mathscr{G}/\\mathscr{F})\\to H^0(X_s,\\mathscr{G}_s/\\mathscr{F}_s)가 injective니까 우리는 H^0(X,\\mathscr{F})=H^0(X_s,\\mathscr{F}_s)임을 알 수 있다.

이제 나머지는 induction을 쓰면 되는데 먼저 H^n(X,\\mathscr{G})\\to H^n(X_s,\\mathscr{G}_s)이 injective임을 보이자. 먼저

0\\to \\mathscr{G}\\to \\mathscr{I}\\to \\mathscr{J}

라는 short sexact sequence를 생각하자.

여기에서 \\mathscr{I}를 injective라고 할 수 있으며 long exact cohomology sequence로

\\begin{array}{ccccccccc}H^{n-1}(X,\\mathscr{I}) & \\xrightarrow{\\quad\\quad} & H^{n-1}(X,\\mathscr{J}) & \\xrightarrow{\\quad\\quad} & H^{n}(X,\\mathscr{G}) & \\rightarrow & 0 \\\\\\downarrow & & \\downarrow & & \\downarrow \\\\H^{n-1}(X_s,\\mathscr{I}_s) & \\xrightarrow{\\quad\\quad} & H^{n-1}(X_s,\\mathscr{J}_s) & \\xrightarrow{\\quad\\quad} & H^{n}(X_s,\\mathscr{G}_s)\\end{array}

라는 걸 얻을 수 있다. 그러므로 H^{n}(X,\\mathscr{G})\\to H^n(X_s,\\mathscr{G}_s)는 injective이므로 isomorphism이 된다.

이제 n=0일 때하고 똑같이 해주면 H^n(X,\\mathscr{F})=H^n(X_s,\\mathscr{F})임을 알 수 있다.

이제 이것은 \\dim{X_s}\\le 1일 때의 증명이니 이걸 확장시켜야 한다.

먼저 X=\\Bbb{P}^1_{S}\\times \\cdots \\times \\Bbb{P}^1_{S}일 때 되고 이제

p:\\Bbb{P}^1_{S}\\times \\cdots \\times \\Bbb{P}^1_{s}\\to \\Bbb{P}^d_{S}

라는 surjective mapping을 생각하자.

그러면 \\mathscr{G}\\to p_*p^*\\mathscr{G}라는 mapping은 injective이므로 \\Bbb{P}^n_{S}에서 증명이 끝나고 나머지는 f가 projective morphism이라면

f:X\\hookrightarrow \\Bbb{P}^n_{S}\\to S

로 f를 쪼갤 수 있으므로 증명이 끝난다. 그리고 일반적인 proper morphism에 대해서는 Chow's lemma를 쓰면 된다.