Proper base change theorem

먼저 X와 Y를 noetherian scheme이라고 하고 \mathscr{F}를 Y의 torsion sheaf라고 하자. 그리고 우리는 다음 Cartesian diagram을 만들자.

\begin{aligned} &X\!\times_{S}\!Y\overset{f'}{\longrightarrow} Y \\ &\;\;\;\;\;\downarrow \!{}_{g'} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\downarrow \!{}_{g} \\ &\;\;\;\;\;X \underset{f}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\!\!\!\!\longrightarrow} S\end{aligned}

이 때 f:X\to S쪽이 proper morphism이면 다음이 성립한다.

g^{*}(R^nf_{*}\mathscr{F})=R^nf^{'}_{*}({g^{'}}^{*}\mathscr{F})

g^{*}와 g_{*}는 서로 adjoint functor 관계이므로 \mathscr{F}\to g'_{*}g'^{*}\mathscr{F}이고 양변에 f_{*}를 씌우면

f_{*}\mathscr{F}\to g_{*}g^{*}f_{*}\mathscr{F}\to g_{*}f'_{*}g'^{*}\mathscr{F}

이라는 natural morphism을 만들 수 있게 된다. 이제 같은 방법으로

g^{*}f_{*}\mathscr{F}\to f'_{*}g'^{*}\mathscr{F}

라는 natural morphism을 쉽게 얻을 수 있다. 이 방법하고 비슷하게 derived category로

g^*(\mathrm{R}f_{*}\mathscr{F}^{\bullet})\to \mathrm{R}f'_{*}(g'^{*}\mathscr{F}^{\bullet})

라는 natural morphism을 얻을 수 있게 된다. 여기에서 \mathscr{F}^{\bullet}은 Y의 bounded below인 sheaf들의 complex다.

proper base change theorem의 의미는 이 natural morphism을 등호로. 그러니까 isomorphism으로 만들 수 있다는 정리다. 그렇기 때문에 이 정리는 뭔가를 바꿔야만 할 대 아주 자주 쓰이며 étale cohomology의 기본이 되는 정리다.

이 정리를 이용하면 X가 complete variety on separable closed field이고 \mathscr{F}가 X에서 constructible일 때 H_{ét}^n(X,\mathscr{F})가 finite라는 정리를 만들 수 있다. 그리고 이는 proper base change theorem과 동시에 증명된다.

우리는 먼저 증명을 쉽게 하기 위해서 case를 줄여보자. inverse limit를 쓰면 limit theorem이라는 것에 의해서 Y를 finite generated라고 할 수 있다. 그리고 우리는 stalk에 대해서만 isomorphism을 증명해도 증명하려는 것의 등호를 만들 수 있으므로 stalk로 관심을 옮길텐데

y:\text{Spec}\,k\to Y

가 geometric point라고 하고

Y(t):=\text{Spec}\,\tilde{\mathcal{O}}_{Y,y}

를 생각하자. 여기에서 \tilde{\mathcal{O}_{Y,y}}는 \mathcal{O}_{Y,y}의 strict local ring이다.

우리는 \mathscr{G}를 X_{Y}의 sheaf라고 하자.

그러면 \mathscr{F}(t)를 X_{Y}\times _{Y}Y(t)\to X_{Y}의 inverse image로 \mathscr{G}를 보낸 것이라고 하면 우리는 다음을 알 수 있다.

(R^nf'_{*}\mathscr{G})_{t}=H^{n}(X_{Y}\times_{Y}Y(t),\mathscr{G}(t))

우리는 이것에 대해서만 증명해주면 되는 것이다. 다른 쪽에서도 똑같이 해주면 우리는 이 두 case에 대해서만 증명해주면 된다.

S를 \text{Spec}\,k라고 두고 Y=\text{Spec}\,K이다. 여기에서 K는 k의 finite algebraic extension이다. 물론 k는 separably closed이다.

S는 strictly Henselian ring의 spectrum이고 Y는 그 ring의 residue field의 spectrum이다.

여기에서 첫번째 경우는 쉽게 증명할 수 있으므로 여기에서는 두 번째에 대해서만 증명하도록 하겠다.

이제 위의 strictly Henselian ring을 A라고 하고 S를 A의 spectrum이라고 하자.

k를 A의 residue field라고 하고 s:\text{Spec}\,k\to S를 geometric point라고 하자.

그러면 우리는 X_s:=X\times \text{Spec}\,k라고 하고 \mathscr{F}_{s}을 \mathscr{F}을 X_{s}\to X의 inverse로 보낸 것이라고 하면

H^n(X,\mathscr{F})=H^n(X_{s}\mathscr{F}_{s})

임을 증명하면 된다.

이 상황을 위의 상황과 대치시켜본다면 X_{Y}\times_{Y}Y(y)=X\times \text{Spec}\,k가 되었으니 A=\tilde{\mathcal{O}}_{Y,y}라고 두고 \mathscr{G}(t)=\mathscr{F}_{s}=\mathscr{G}_{s}라고 두었다고 할 수 있다.

우리는 X_s의 dimension에 때해서 생각해 볼 텐데 X_s의 dimension이 0,1이라면 다음이 성립한다.

\dim{X_s}\le 1이라고 하자.

그러면 k가 \mathcal{O}_{X}에서 invertible이면 H^n(X,\Bbb{Z}/k\Bbb{Z})\to H^n(X_s,\Bbb{Z}/k\Bbb{Z})는 n이 0이면 bijective가 되고 n\ge 1이면 surjective가 된다.

먼저 n\ge 3이면 모두 0이 되므로 생각할 필요가 없고 n=0일 때는 Zariski's main theorem하고 똑같고 n=1일 때는 X_s의 Galois covering을 생각하면 된다. 자세한 건 밑에서 설명하겠다.

A의 maximal ideal을 \mathfrak{m}이라고 하고 A/\mathfrak{m}^n을 생각하자. 그리고 다음 정리를 보자.

X_s의 Galois covering은 모두 X_k=X\otimes \varprojlim A/\mathfrak{m}^k으로 확장할 수 있다.

이제 우리는 이 정리를 바탕으로 다음을 전개하자.

B를 noetherian A-algebra라고 하면 F(B)를 X\otimes B의 isomorphic classes of Galois covering이라고 하자. 그러면 F는 functor가 되며 locally of finite prosentable이 된다. 그러니까 inverse limit를 안으로 넣을 수 있게 된다. 이것으로 Artin approximation theorem를 쓰면 n=1일 때의 증명을 얻을 수 있다.

이제 i=2일 때만 증명하면 되는데 다음 commutative diagram을 보자.

\begin{aligned} &\text{Pic}\,X\longrightarrow H^2(X,\mu_n) \\ & \;\;\; \downarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \downarrow \\ & \text{Pic}\,X_{s}\longrightarrow H^2(X_s,\mu_{n}),\end{aligned}

이는 Hilbert theorem 90과 0\to \mu_n\to \mathcal{O}^{\times}_{X}\to \mathcal{O}^{\times}_{X}\to 0이라는 exact sequence로 쉽게 얻어낼 수 있다. 이 때 왼쪽이 surjective가 되게 하고 이를 오른쪽 줄로 옮기고 싶다. 그러므로 우리는 다음을 증명해야 한다.

모든 X_s의 invertible sheaf는 X로 옮길 수 있다.

이것을 증명하면 k를 separably closed라고 하면 A는 Henselian이므로 primitive n-root of unity를 모두 가지게 되고 \mu_n를 \Bbb{Z}/n\Bbb{Z}로 바꿀 수 있게 되면서 i=2일 때에도 증명이 끝난다.

이를 증명하는 데 exact sequence를 하나 만들 텐데 \mathscr{I}:=\text{Ker}\,(\mathcal{O}_{X_{k+1}}\to \mathcal{O}_{X_{k}})라고 하자. 그러면

0\to \mathscr{I}\to \mathcal{O}^{\times}_{X_{k+1}}\to \mathcal{O}^{\times}_{X_k}\to 0

임을 알 수 있고 \mathscr{I}가 coherent이므로 H^2(X_s,\mathscr{I}))는 터지게 된다. 이것이 터진다는 것은 바로

H^1(X_s,\mathcal{O}^{\times}_{X_{k+1}})\to H^1(X_s,\mathcal{O}^{\times}_{X_k})

의 surjective성을 말하고 이것으로 n=2일 때의 증명이 끝났다.

이는 손쉽게 constructible sheaf로 옮길 수 있고 정리하면 이렇게 된다.

\mathscr{F}가 X에서 \Bbb{Z}/n\Bbb{Z}-module의 constructible sheaf라고 한다. 그러면 적당한 \mathscr{G}가 있어서 \mathscr{F}를 subsheaf로 만들고 n=0일 때 H^0(X,\mathscr{G}_s)=H^0(X,\mathscr{G}_s)가 되고 H^n(X,\mathscr{G})\to H^n(X_s,\mathscr{G}_s)는 surjective가 된다.

이제 먼저 \mathscr{G}를 \mathscr{F}로 바꾸고 surjective를 isomorphic, 즉 화살표를 등호로 만들어야 하는데 등호로 만들려면 injective가 필요하다. \mathscr{G}를 \mathscr{F}로 바꾸는 것은 쉬운 편으로

\begin{aligned} &0-\!\!\!-\!\!\!\!\!\longrightarrow H^0(X,\mathscr{F})-\!\!\!-\!\!\!\!\!\longrightarrow H^0(X,\mathscr{G})-\!\!\!-\!\!\!\!\!\longrightarrow H^0(X,\mathscr{G}/\mathscr{F}) \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \downarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \downarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \downarrow \\ &0\longrightarrow H^0(X_s,\mathscr{F}_s)\longrightarrow H^0(X_s,\mathscr{G}_s)\longrightarrow H^0(X_s,\mathscr{G}_s/\mathscr{F}_{s})\end{aligned}

라는 commutative diagram을 보면 손쉽게 H^0(X,\mathscr{F})\to H^0(X_s,\mathscr{F}_s)쪽이 injective임을 알아챌 수 있으며 같은 원리로 H^0(X,\mathscr{G}/\mathscr{F})\to H^0(X_s,\mathscr{G}_s/\mathscr{F}_s)가 injective니까 우리는 H^0(X,\mathscr{F})=H^0(X_s,\mathscr{F}_s)임을 알 수 있다.

이제 나머지는 induction을 쓰면 되는데 먼저 H^n(X,\mathscr{G})\to H^n(X_s,\mathscr{G}_s)이 injective임을 보이자. 먼저

0\to \mathscr{G}\to \mathscr{I}\to \mathscr{J}

라는 short sexact sequence를 생각하자.

여기에서 \mathscr{I}를 injective라고 할 수 있으며 long exact cohomology sequence로

\begin{array}{ccccccccc}H^{n-1}(X,\mathscr{I}) & \xrightarrow{\quad\quad} & H^{n-1}(X,\mathscr{J}) & \xrightarrow{\quad\quad} & H^{n}(X,\mathscr{G}) & \rightarrow & 0 \\\downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\H^{n-1}(X_s,\mathscr{I}_s) & \xrightarrow{\quad\quad} & H^{n-1}(X_s,\mathscr{J}_s) & \xrightarrow{\quad\quad} & H^{n}(X_s,\mathscr{G}_s)\end{array}

라는 걸 얻을 수 있다. 그러므로 H^{n}(X,\mathscr{G})\to H^n(X_s,\mathscr{G}_s)는 injective이므로 isomorphism이 된다.

이제 n=0일 때하고 똑같이 해주면 H^n(X,\mathscr{F})=H^n(X_s,\mathscr{F})임을 알 수 있다.

이제 이것은 \dim{X_s}\le 1일 때의 증명이니 이걸 확장시켜야 한다.

먼저 X=\Bbb{P}^1_{S}\times \cdots \times \Bbb{P}^1_{S}일 때 되고 이제

p:\Bbb{P}^1_{S}\times \cdots \times \Bbb{P}^1_{s}\to \Bbb{P}^d_{S}

라는 surjective mapping을 생각하자.

그러면 \mathscr{G}\to p_*p^*\mathscr{G}라는 mapping은 injective이므로 \Bbb{P}^n_{S}에서 증명이 끝나고 나머지는 f가 projective morphism이라면

f:X\hookrightarrow \Bbb{P}^n_{S}\to S

로 f를 쪼갤 수 있으므로 증명이 끝난다. 그리고 일반적인 proper morphism에 대해서는 Chow's lemma를 쓰면 된다.