Function
다음 두 가지를 만족하는 집합 A, B의
곱집합 A\\times B의 부분집합
f를 말한다.
- \\forall x\\in A, \\ \\exists y \\in B \\ s.t. \\ (x, y)\\in f
- (x,y_1)\\in f, \\ (x,y_2)\\in f \\rightarrow y_1=y_2
함수는
f:A\\to B와 같이 표기할 수 있다. 함수의 개념을 일반화한 것으로 사상이 있으나 함수와 엄밀하게 구별하지는 않는다.
함수의 개념을 배울 때 상자에 수를 넣으면 그에 따라 다른 수가 튀어나오거나, 두 집합의 원소가 있어 한 집합에서 다른 집합으로 연결하는 그림들을 많이 봤을 것이다. 그런데 생각해보면 똑같은 정의이므로 위의 정의에서 수식이 튀어나온다고 당황할 것 없다.
- 집합 A=\\{x_{1},x_{2},x_{3},\\cdot\\cdot\\cdot\\},\\ B=\\{y_{1},y_{2},y_{3},\\cdot\\cdot\\cdot\\}를 생각하고 모든 x∈A가 어떤 y∈B로 대응할 때, 이를 집합 f의 원소 (x,y)로 쓰자. <br>
- A의 원소 하나에 B의 원소 하나만 대응될 수 있다.
그러면
f는 집합 A, B의
곱집합 A \\times B = \\{(x_{1},y_{1}),(x_{1},y_{2}),(x_{1},y_{3}),\\cdot\\cdot\\cdot,(x_{2},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{2},y_{3}),\\cdot\\cdot\\cdot\\}의 부분집합이다.
A=\\{a, b\\}, B=\\{x, y, z\\}인 f:A\\to B에서 f(a)=y,\\ f(b)=z이면 f는 \\{(a,y),(b,z)\\}인 함수이며 이는 A\\times B=\\{(a, x), (a, y), (a,z), (b,x),(b,y),(b,z)\\} 의 부분집합이다.
2.1. 일대일함수(단사함수) ✎ ⊖
f:A\\to B에서 x\\in A, y\\in B일 때, (x_1,y)\\in f, \\ (x_2,y)\\in f \\rightarrow x_1=x_2인 함수 f를 말한다.
f:A\\to B에서 \\{y\\in B|y=f(x), \\exists x\\in A\\}=B인 함수 f를 말한다.
2.3. 일대일대응(전단사함수) ✎ ⊖
f:A\\to B에서 x\\in A, y\\in B일 때, (x_1,y)\\in f, \\ (x_2,y)\\in f \\rightarrow x_1=x_2이고 \\{y|y=f(x), \\exists x\\}=B인 함수 f를 말한다.
f:A\\to B (A⊆B)에서 모든 x\\in A에 대해 x=f(x)인 함수 f를 말한다.
f:A\\to B에서 임의의 x∈A 에 대해 f(x)∈B 가 항상 같은 함수 f를 말한다.
일대일대응인 f:A\\to B에 대한 g:B\\to A를 f의 역함수라고 하며, g=f^{-1}로 쓴다.
f:A\\to B와 g:C\\to D\\ (B⊆C)를 합성하면 g(f(x))가 되며, g∘f로 쓴다. f∘f=f이면 이 f는 멱등함수이다.
f:\\mathbb{R}\\to \\mathbb{R}에서 f(-x)=f(x) 인 함수 f를 말한다.
f:\\mathbb{R}\\to \\mathbb{R}에서 f(-x)=-f(x) 인 함수 f를 말한다.
f:\\mathbb{N}\\to \\mathbb{C}인 함수 f를 말한다.
- 다항 함수: x의 몇제곱과 상수항으로만 이루어져 있는 함수.
- 분수 함수
- 무리 함수
- 디감마 함수
- 제타 함수
- 최대 정수 함수
3.1. 개별 문서가 있는 함수 ✎ ⊖
