집합론에서 폰 노이만 우주(Von Neumann Universe)는 공집합이 아닌 어떤 부분집합이든지 최소원소가 있는(Well-founded) 집합들의 모임을 말한다. 통상적으로
V라 표기하며,
정칙성 공리가 성립하는 집합론 체계 내에서는
V가 모든 집합의 클래스가 된다. 이 공리가 성립하면 무한히 자기 자신을 포함하는 집합이나
x \\in y \\in x와 같은 순환적인 멤버십 관계가 존재할 수 없게 된다.
목차1. 정의2. 폰 노이만 우주와 집합론의 모형 다음과 같이 초한 귀납적으로
V_\\alpha를 정의하자.
- V_0=\\emptyset
- V_{\\alpha+1}=\\mathcal{P}(V_\\alpha)
- \\lambda가 극한서수이면 V_\\lambda = \\bigcup_{\\alpha<\\lambda} V_\\alpha
그리고
V=\\bigcup V_\\alpha로 정의한다. 여기서
V는 집합이 될 수 없음에 유의하라.
2. 폰 노이만 우주와 집합론의 모형 ✎ ⊖
V_\\omega는 ZFC에서 무한공리를 뺸 이론의 모형이다. 만약
\\kappa가 도달 불가능한 기수라면,
V_\\kappa는 체르멜로-프렌켈 집합론의 모형이 되며
V_{\\kappa+1}은
모스-켈리 집합론의 모형이 된다.
