페르마의 마지막 정리

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Fermat's Last Theorem (FLT)

수학계의 유명한 정리로 페르마가 처음 추측했다가 약 358년이 지난 1994년에 앤드류 와일즈가 증명한 정리다. 그 기나긴 세월 동안 수많은 수학자가 도전했으나 좌절했고, 이 과정에서 정수론과 대수기하학이 비약적으로 발전하는 계기가 되었다. 해당 정리는 다음과 같다.

Generaliter nullam in infinitum vltra quadratum poteſtatem in duos eiuſdem nominis fas eſt dividere.
일반적으로 3 이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다.

이것은 증명되기 전에는 수학계의 가장 어려운 문제로 유명했으며 많은 사람들이 증명이 가능한지 회의를 느꼈고 심지어 괴델의 불완전성 정리에 의해서 증명이 불가능할거라고 믿은 사람도 있었다.

1. 설명
2. 일화
3. 영상

1. 설명 ✎

이 정리는 피타고라스 정리에서 지수만 살짝 바꾼 거라고 할 수 있다. 피타고라스의 정리는

x^2+y^2=z^2

꼴인데 이를 만족하는 서로 0이 아닌 정수는 x,y,z는 3,4,5가 있을 수 있다. 그러니까

3^2+4^2=5^2

라는 것이다. 그 외에도

5^2+12^2=13^2

역시 가능하다. 일반적으로 정수 k,a,b가 있어서 x^2+y^2=z^2을 만족하는 모든 자연수는

x=k(a^2-b^2),\;\;y=2kab,\;\;z=k(a^2+b^2)

꼴이며 이 꼴은 모두 피타고라스의 정리를 만족한다. 그러면 다음은 어떨까?

x^3+y^3=z^3

이것 역시 해가 있을 것 같지만 이것은 x,y,z 셋 중 하나가 0이 되지 않는 이상 해가 없다. 이는 오일러가 처음으로 증명했으며 오일러는 이 증명에 유일 인수분해 정역을 처음 사용하였다. 그렇기 때문에 증명이 좀 어려워서 여기에서 증명은 생략한다.

이제 다음은 어떨까?

x^4+y^4=z^4

이것은 x,y,z 셋 중 하나가 0이 아니고는 해가 없음을 쉽게 알아차릴 수 있다. 아마도 페르마는 이 경우에 대해서만 증명하고 다른 경우에 대해서 일반화했다고 생각했을 것이다. 이 경우는 x,y,z가 서로 서로소라고 하면

x^2=a^2-b^2,\;\; y^2=2ab,\;\;z^2=a^2+b^2

꼴로 표현이 가능하고 그러므로 y는 짝수가 되어야 한다. 그런데 y가 짝수이면 y^2은 4의 배수가 되어야 하므로 a나 b는 짝수가 되어야 한다. a가 짝수라고 하면

x^2+z^2=2a^2

이고 그러므로 x^2+z^2\equiv 0 \pmod 4가 된다. 이걸로 간단한 계산으로 x와 z는 동시에 짝수가 되어야 함을 알 수 있고 그러므로 x,y,z 모두 짝수가 되는데 이는 x,y,z가 서로 서로소라는 데 모순이다.

이제 지수를 더 높혀서 다음을 보자.

x^5+y^5=z^5

이 경우에도 역시 x,y,z 셋 중 하나가 0이 아니고는 해가 없음이 증명되었고 이는 프랑스의 수학자 소피 제르맹에 의해서 증명되었다.

지수를 끝없이 높혀가다보면 우리는 다음 추측을 할 수 있게 된다.

모든 n\ge 3와 정수 x,y,z에 대해서 x^n+y^n=z^n꼴의 방정식이 성립하면 xyz=0일 수 밖에 없다. 그러므로 자명해 외에 이 방정식의 해는 없다.

이 추측은 1994년 영국의 수학자 앤드류 와일즈에 의해서 증명되었다. 와일즈는 타원 곡선이 모듈러(Modular)하다는 타니야마-시무라 추측을 증명하는 방식을 통해 이 문제를 해결했다. 즉, 페르마의 방정식이 해를 가진다고 가정하면 타원 곡선이 존재하는데, 그 타원 곡선은 성질상 존재할 수 없다는 귀류법을 사용한 것이다.

2. 일화 ✎

페르마는 이것을 증명했다고 생각했는지 디오판토스의 산술에 이 정리를 써놓고서는 다음과 같은 말을 덧붙혔다.

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.
나는 이것을 경이로운 방법으로 증명하였으나, 책의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다.

이것은 나중에 큰 화제가 되었고 페르마의 여백 정리라고 불리는 등 많은 놀림거리가 되고 있다. 정말로 페르마는 17세기 초에 스스로 타원 곡선과 modular form, 이 둘을 연결하는 representation theory와 그 representation을 만드는 데 필요한 cohomological theory를 스스로 만들고 modularity theorem를 스스로 생각해서 증명했던 것일까? 진짜 페르마가 이것들을 모두 스스로 만들 수 있을 정도의 천재라면 저 여백정리를 쓴 것도 이해가 갈 텐데 말이다.

수학계에서는 페르마가 착각했거나, 혹은 페르마가 증명했다고 믿은 방법은 17세기 수준의 수학으로는 불가능한 오류였을 것이라고 중평한다. 만약 페르마가 진짜로 17세기에 현대 대수기하학의 총집결이라고 할 수 있는 와일즈의 증명법을 알고 있었다면, 아니면 와일법의 증명법이 아닌 다른 방법으로 증명에 성공했다면, 그는 인간이 아니라 타임머신을 탄 미래인이라고 해도 과언이 아닐 것이다.

3. 영상 ✎

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