Cullen number

n \\cdot 2^n+1 꼴의 자연수를 말하며, C_n으로 표현한다.

목차

1. 역사
1.1. 인수분해
2. 가분성
3. 쿨렌 소수

1. 역사 ✎ ⊖

1905년 James Cullen은 처음으로 C_n=n \\cdot 2^n+1 꼴의 숫자들에 대해 연구를 시작했다.

그는 n=53일 때 C_n이 소수일 여지를 남겨두고 C_n이 1 < n < 100인 53 이외의 모든 n에 대해 합성수임을 발견했다.

1906년 Allan Joseph Champneys Cunningham은 5591 C_{53}의 소인수라는 것을 발견함으로서 C_{53}이 합성수임을 보였다.

그리고 Cullen의 발견내용을 n=141일 때 C_{141}이 소수일 여지를 남겨두고 1 < n \\leq 200로 확장시켰다. 또한 쿨렌 소수가 매우 드물게 나타난다는 것을 지적했다.

1957년 Raphael Mitchel Robinson은 C_{141}이 1 < n \\leq 1000에서 유일한 소수임을 보였다.

1976년 Christopher Hooley는
showed that the natural density of positive integers n \\leq x for which C_n is a prime is of the order o(x) for x \\to \\infty\\ \\Rightarrow almost all Cullen numbers are composite

2009년 일본의 PrimeGrid 참여자는 현재까지 알려진 가장 큰 쿨린 소수 6679881 × 26679881 + 1를 찾았다, 이는 2,010,852자리 숫자이다.

1.1. 인수분해 ✎ ⊖

많은 방법, 프로그램, 그리고 컴퓨터들이 사용되었다.
  • 방법 : MPQS (multiple polynomial quadratic sieve), ECM (elliptic curve method)
  • 프로그램 : UBASIC, ECMX, MPQSX, MPQSHD, MVFAC, APRT-CL (Cohen-Lenstra version of Adleman-Pomerance-Rumely Test)
  • 컴퓨터 : IBM ES/9021-440 mainframe, Fujitsu VP 2200/10 vector processor, SNI S100/10

2. 가분성 ✎ ⊖

  • 홀수 p에 대하여 nk = ( 2^k - k )( p - 1 ) - k ,\\ k > 0이면 p | C_{nk}이다.
  • (2|p) = -1이면 p | C_{(p+1)/2}, (2|p) = 1이면 p | C_{(3p-1)/2}이다.
  • \\{C_n \\operatorname{mod} p\\} 은 주기 p \\operatorname{ord}_p 2를 가진다.

3. 쿨렌 소수 ✎ ⊖

C_n이 소수일 때 이를 쿨렌 소수라고 한다,

n \\cdot 2^n \\pm 1가 모두 소수일 때, 이를 쿨렌 쌍둥이 소수라고 한다.

A005849는 C_n이 소수인 n의 수열이다. 또한 A050920는 쿨렌 소수들의 수열이다.

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