Cauchy–Schwarz inequality
오귀스탱 루이 코시가 만들고 카를 헤르만 아만두스 슈바르츠가 덧붙인 중요한 절대부등식이다. 이 부등식은 선형대수학에서는 벡터를 다룰 때, 에서는 무한 급수에서, 확률론에서는 분산과 공분산을 다룰 때와 같이 여러 상황에서 사용된다. C-S로 줄여 쓰는 경우가 종종 있다.
이 부등식은
\mathbf{x}와
\mathbf{y}가
실수나
복소수 내적 공간의 원소일 때 다음이 성립함을 나타낸다.
{|\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle|}^{2} \leq \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle \cdot \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle
등호가 성립하는 것은
\mathbf{x}와
\mathbf{y}가 일차 종속인 경우와 동치이다. 또한,
\vec{x}와
\vec{y}가
n차원 (유클리드) 공간 벡터인 경우,
\vec{x} = \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} {x}^{i} {\hat{\mathbf{e}}}_{i},
\vec{y} = \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} {y}^{i} {\hat{\mathbf{e}}}_{i}라고 하면, 다음과 같은 부등식이 성립한다.
{\left ( \displaystyle \sum_{i , j = 1}^{n} {\delta}_{i j} {x}^{i} {y}^{j} \right )}^{2} \leq \left ( \displaystyle \sum_{i , j = 1}^{n} {\delta}_{i j} {x}^{i} {x}^{j} \right ) \left ( \displaystyle \sum_{i , j = 1}^{n} {\delta}_{i j} {y}^{i} {y}^{j} \right )
위 식에서
{\delta}_{i j}는 크로네커 델타(Kronecker delta)이다.
n = 2인 경우에는 다음과 같은 부등식을 얻을 수 있다.
{(a c + b d)}^{2} \leq ({a}^{2} + {b}^{2})({c}^{2} + {d}^{2})
삼각 부등식과 베셀 부등식은 보통 코시-슈바르츠 부등식으로부터 유도될 수 있다.
목차
1. 증명
2. 예시
2.1. L2 공간
3. 영상
\mathbf{y} = \mathbf{0}일 경우 부등식이 성립한다는 것이 자명하므로,
\langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle \neq 0이 아니라고 가정할 수 있다.
\lambda \in \Bbb{C}라 하면,
\begin{aligned} 0 \leq {\left | \mathbf{x} - \lambda \mathbf{y} \right |}^{2} &= \langle \mathbf{x} - \lambda \mathbf{y}, \mathbf{x} - \lambda \mathbf{y} \rangle \\ &= \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle - \lambda \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle - \lambda \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle + {|\lambda|}^{2} \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle \end{aligned}
\lambda = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle / \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle로 하여 정리하면,
0 \leq \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle - {|\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle|}^{2} / \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle
양변에
\langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle을 곱해서 정리하면 위의 식은 다음과 동치이다.
{|\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle|}^{2} \leq \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle \cdot \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle
- 코시-슈바르츠 부등식을 이용하면
a , b \in \Bbb{R}에 대하여 {a}^{2} + {b}^{2} = 61일 때 3 a + 4 b의 최댓값을 구할 수 있다.
제곱적분 가능한 복소함수의 내적 공간에서 다음 부등식이 성립한다.
{\left | \displaystyle \int f(x) \overline{g}(x) dx \right |}^{2} \leq \displaystyle \int {\left | f(x) \right |}^{2} dx \cdot \displaystyle \int {\left | g(x) \right |}^{2} dx
디랙 표기법을 쓰면 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다.
{\left \langle g | f \right \rangle}^{2} \leq \left \langle f | f \right \rangle \cdot \left \langle g | g \right \rangle
횔더 부등식은 이것을 일반화한 것이다.
