Cauchy-Riemann equations
복소수체에서 정의된 미분가능한 함수가 항상 만족하는 연립편미분방정식이다.
z\\in\\mathbb{C}와
x,y\\in\\mathbb{R}에 대해,
z=x+iy로 정의하자. 복소수체에 포함된 열린집합
G에서 정의된 미분가능한 함수
f(z)와
u(x,y),v(x,y)\\in\\mathbb{R}에 대해
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)로 정의하면
u,v는 다음 식
\\frac{\\partial u}{\\partial x}=\\frac{\\partial v}{\\partial y}, \\frac{\\partial u}{\\partial y}=-\\frac{\\partial v}{\\partial x}
을 만족한다. 이 식을 코시-리만 방정식이라 한다. 따라서
z_0에서 미분가능한 함수는
z_0에서 코시-리만 방정식을 만족한다.
함수
f가 점
z_0에서 미분가능하다고 하자. 그러면
f'(z_0)=\\lim_{\\Delta z\\to z_0}\\frac{f(z_0+\\Delta z)-f(z_0)}{\\Delta z}
이다.
x_0,y_0,\\Delta x, \\Delta y\\in\\mathbb{R}에 대해
z_0=x_0+iy_0,
\\Delta z=\\Delta x+i\\Delta y으로 정의하자.
\\Delta y=0으로 둔다면,
f'(z_0)=\\frac{\\partial u}{\\partial x}(x_0,y_0)+i\\frac{\\partial v}{\\partial x}(x_0,y_0)
을 얻으며,
\\Delta x=0으로 두면
f'(z_0)=-i\\frac{\\partial u}{\\partial y}(x_0,y_0)+\\frac{\\partial v}{\\partial y}(x_0,y_0)
을 얻는다. 실수부와 허수부를 비교하여 코시-리만 방정식을 얻는다.
- Saff, E. B.; Snider, A. D. (2003), Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathematics (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 0139078746
