Kepler's laws of planetary motion
독일의 천문학자 요하네스 케플러가 발표한
태양계의 행성을 포함한 행성의 운동에 대한 다음으로 이루어진 세 개의 물리학 법칙이다.
- 제1법칙 (타원 궤도의 법칙, 궤도의 법칙) : 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 그리면서 공전한다.
- 제2법칙 (면적속도 일정의 법칙, 케플러 넓이 법칙) : 행성과 태양을 연결하는 가상적인 선분이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 항상 같다.
- 제3법칙 (조화의 법칙, 주기의 법칙) : 행성의 공전주기의 제곱은 궤도의 긴반지름의 세제곱에 비례한다.
이 법칙이 항상 정확하게 맞아떨어지는 것은 아니다. 왜냐하면 법칙을 이끌어내는 데 있어서 일부러 근사시킨 점과 상대론의 효과와 다른 행성들의 중력으로 인한 섭동으로 인해 생기는 궤도의 비틀림이 있기 때문이다. 따라서 좀 더 정확한 궤도를 구하기 위해서는 타원 궤도를 먼저 구하고, 정준 섭동 풀이를 이용하여 섭동에 의한 비틀림 효과를 더한 뒤 슈바르츠실트 해를 이용하여 상대론적 효과를 더해야 한다.
목차
1. 증명
2. 영상
뉴턴의 운동 방정식과 보편적인 중력의 법칙
\Sigma \vec{F} = m \! \frac{{d}^{2} \vec{x}}{{d t}^{2}} \, , \, {\vec{F}}_{\text{G}} = - G \! \frac{{m}_{\text{s}} {m}_{\text{t}}}{{r}^{2}} \! \hat{\boldsymbol{r}}을 이용하여 풀이한다. 만일 원천질량
{m}_{\text{s}}에 의해 만들어진 중력장에 의해 시험질량
{m}_{\text{t}}가 가속된다면 운동 방정식은
\Sigma \vec{F} = {m}_{\text{t}} \! \frac{{d}^{2} \vec{x}}{{d t}^{2}} = - G \! \frac{{m}_{\text{s}} {m}_{\text{t}}}{{r}^{2}} \! \hat{\boldsymbol{r}}이다.
이것을 다시 정리하면
\frac{{d}^{2} \vec{x}}{{d t}^{2}} = - G \! \frac{{m}_{\text{s}}}{{r}^{2}} \! \hat{\boldsymbol{r}}이 된다. 좌변을 극좌표에 대해서 풀면
\frac{{d}^{2} \vec{x}}{{d t}^{2}} = \left ( \frac{{d}^{2} r}{{d t}^{2}} - r \! {\left ( \frac{d \theta}{d t} \right )}^{2} \right ) \hat{\boldsymbol{r}} + \left ( 2 \! \frac{d r}{d t} \! \frac{d \theta}{d t} + r \! \frac{{d}^{2} \theta}{{d t}^{2}} \right ) \hat{\boldsymbol{\theta}}이 된다. 따라서
r 성분과
\theta 성분에 대해 나눠보면
\frac{{d}^{2} r}{{d t}^{2}} - r \! {\left ( \frac{d \theta}{d t} \right )}^{2} = - G \! \frac{{m}_{\text{s}}}{{r}^{2}} \, , \, 2 \! \frac{d r}{d t} \! \frac{d \theta}{d t} + r \! \frac{{d}^{2} \theta}{{d t}^{2}} = 0이다. 이 식을 보면 힘은 오로지
r 성분에만 관련이 있는데, 이러한 힘 중 보존력인 힘을 특별히
중심력(Central Force)이라고 부른다.
여기서
\theta 성분에 대해 살펴보면
\displaystyle \frac{1}{r} \! \frac{d}{d t} \! \left ( {r}^{2} \! \frac{d \theta}{d t} \right ) = 0과 동치임을 알 수 있다. 따라서
{r}^{2} \! \frac{d \theta}{d t} = \text{Const}이다. 이 식이 의미하는 바는 두 가지라 할 수 있다. 먼저 극좌표에서 원점과 어떤 점 사이의 선분이 쓸고 지나가는 넓이가
A = \displaystyle \frac{1}{2} \! \int_{\Theta} {r}^{2} \, d \theta라는 것을 고려하면 면적속도는
\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} \! {r}^{2} \! \frac{d \theta}{d t} = \text{Const}임을 알 수 있다. 이것이 바로
면적속도 일정의 법칙이다.
또 입자의 궤도각운동량이
{\vec{L}}_{\text{O}} = m {r}^{2} \! \displaystyle \frac{d \theta}{d t} \! \hat{\boldsymbol{n}} = \text{Const}이므로 각운동량 보존의 법칙도 알려줌을 알 수 있다. 이제
\sigma = \displaystyle {r}^{2} \! \frac{d \theta}{d t}라고 하자. 그럼 이제
r 성분을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
{r}^{2} \! \frac{{d}^{2} r}{{d t}^{2}} - \frac{{\sigma}^{2}}{r} = - G {m}_{\text{s}} 이제 연쇄법칙을 쓰면
\displaystyle \frac{d}{d t} = \frac{d \theta}{d t} \! \frac{d}{d \theta} = \frac{\sigma}{{r}^{2}} \! \frac{d}{d \theta}로 나타낼 수 있으므로
\frac{d}{d \theta} \! \left ( \frac{1}{{r}^{2}} \! \frac{d r}{d \theta} \right ) - \frac{1}{r} = - G \! \frac{{m}_{\text{s}}}{{\sigma}^{2}}이다.
만약
u = \displaystyle \frac{1}{r}이라면
\displaystyle \frac{d u}{d \theta} = - {r}^{2} \! \frac{d r}{d \theta}가 되므로
u = - \! \frac{{d}^{2} u}{{d \theta}^{2}} + G \! \frac{{m}_{\text{s}}}{{\sigma}^{2}}이다.
이 미분방정식에 대한 풀이는
u = G \! \frac{{m}_{\text{s}}}{{\sigma}^{2}} + \mathcal{C} \cos \theta이므로
r = \frac{1}{G \! \displaystyle \frac{{m}_{\text{s}}}{{\sigma}^{2}} + \mathcal{C} \cos \theta} = \frac{\displaystyle \frac{{\sigma}^{2}}{G {m}_{\text{s}}}}{1 + \displaystyle \frac{{\sigma}^{2} \mathcal{C}}{G {m}_{\text{s}}} \cos \theta} = \frac{l}{1 + \varepsilon \cos \theta}이다.
이 궤도가 의미하는 것은 행성은 이차곡선을 그리며 운동한다는 것인데
(1), 행성의 역학적 에너지는
{E}_{\text{M}} = \frac{1}{2} \! {m}_{\text{t}} \! \left ( {\left ( \frac{d r}{d t} \right )}^{2} + {r}^{2} \! {\left ( \frac{d \theta}{d t} \right )}^{2} \right ) - G \! \frac{{m}_{\text{s}} {m}_{\text{t}}}{r} < 0이므로 반드시
{r}_{\text{max}}와
{r}_{\text{min}}이 있게 된다. 따라서 행성은 원 궤도 또는 타원 궤도를 그리지만 원 궤도일 확률은 0이므로 타원 궤도를 그리게 된다. 따라서
타원 궤도의 법칙을 만족한다. 앞에서 보면 극좌표 상에서 원점과 한 점을 잇는 선분이 쓸고 지나가는 넓이는
A = \displaystyle \frac{1}{2} \! \int_{\Theta} {r}^{2} \, d \theta = \frac{1}{2} \! \int_{0}^{T} \sigma \, d t = \frac{\sigma}{2} \! T = \pi a b라는 점을 알 수 있다.
타원에서 긴반지름
a는
{r}_{\text{max}}와
{r}_{\text{min}}의 산술평균이므로
a = \frac{l}{1 + {\varepsilon}^{2}}이고, 짧은반지름
b는
{r}_{\text{max}}와
{r}_{\text{min}}의 기하평균이므로
b = \frac{l}{\sqrt{1 + {\varepsilon}^{2}}}이다. 따라서
b = \sqrt{al}이므로
{T}^{2} = \frac{4 {\pi}^{2} l}{{\sigma}^{2}} \! {a}^{3} = \frac{4 {\pi}^{2}}{G {m}_{\text{s}}} \! {a}^{3} = K {a}^{3}이다.
보기 좋게
R = a라고 한다면
{T}^{2} = K {R}^{3}이다. 이 등식은 주기의 제곱이 긴반지름의 세제곱에 비례한다는 것으로,
조화의 법칙을 의미한다.
