칸토어의 정리 - 시드위키

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Cantor's theorem

집합론과 관련된 기초적 정리 중 하나로, 어떤 집합과 그 멱집합은 대등할 수 없다는 내용의 정리이다.

1. 진술
2. 증명
3. 영상

1. 진술 ✎

A가 집합이고 \mathcal{P}(A)가 그 멱집합이라 하자. 이 때 전단사 함수 f:A\to \mathcal{P}(A)는 존재하지 않는다.

2. 증명 ✎

전단사 f:A\to \mathcal{P}(A)가 존재한다고 가정하자. 이 때 집합 R\in\mathcal{P}(A)를

R=\{x\in X \mid x\notin f(x)\}

으로 정의하자. f가 전사이므로, 어떤 y\in X가 존재해 f(y)=R이여야 한다. 만약 y\in R이면 R의 정의에 의해 y\notin f(y)=R이므로 모순이다. 만약 y\notin R이면 y\notin f(y)가 되므로 R의 정의에 의해 y\in R이다. 따라서 이 경우에도 모순이다. 하지만 y\in R 혹은 y\notin R 둘 중 하나는 참이여야 한다. 따라서 전사함수 f가 존재한다는 전제가 거짓이여야 한다.

3. 영상 ✎

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