Extreme value theorem, EVT
유계된 함수에는 반드시 최댓값과 최솟값이 존재한다는 정리이다.
목차
1. 진술
2. 증명
2.1. f(x)의 유계를 증명
2.2. 최댓값의 존재를 증명
2.3. 최솟값의 존재를 증명
3. 영상
f:\mathbb R \to \mathbb R가 구간 [a, b]에서 연속이면, \exists M, m\in[a,b] \ s.t. \ f(M) = \max\{f(x)\}, \ f(m) = \min\{f(x)\}이다.
먼저 f(x)가 유계임을 증명한 후 최댓값과 최솟값이 존재함을 보인다.
2.1. f(x)의 유계를 증명 ✎
먼저 집합 하나를 생각해보자.
\mathbb S = \{x\in[a, b]|f \rm \ is \ bounded \ in [a, x])\}
함수
f는
x=a에서 연속이므로 유계이다. 따라서
a\in\mathbb S이다.
a가
\mathbb S의 원소이기 때문에,
\mathbb S는 공집합이 될 수 없고, 그러므로
\Bbb{S}의 최소상계
c이 존재한다.
c = \sup \mathbb S라 하자. 여기서
\mathbb S\subset [a, b]이므로
c\leq b이다.
만약
c < b라면
f는
x=c에서 연속이고,
f가
[c-\delta, c+\delta]에서 유계인
\delta가 존재한다.
c+\delta도
\mathbb S의 원소이기 때문에
c = \sup \mathbb S에 모순이다. 따라서
c=b.
모든
\epsilon> 0에 대하여
f가
[a, b-\epsilon] \subseteq[a, b)에서 유계이고,
(1) [b-\epsilon, b]에서 유계이기 때문에
(2) f는
[a, b]에서 유계이다.
2.2. 최댓값의 존재를 증명 ✎
\mathbb T = \{f(x)|x\in[a, b]\}는 위 증명에 의해 유계이고, 상한
M=\sup \mathbb T이 존재한다.
다음 함수를 생각해보자.
g(x) = \displaystyle\frac 1 {M-f(x)}
함수
g(x)는
M=f(x)인 경우를 제외하면 유계이므로
\not\exists c \ s.t.\ f(c)=M이라 하자.
g(x)는
[a, b]에서 연속이므로
\forall\epsilon>0 \ \exists x_1 \in[a,b]\ s.t.\ M-\epsilon<f(x_1)<M \equiv 0<M-f(x_1)<\epsilon이다.
따라서
g(x_1)는
\displaystyle\frac 1 {M-f(x_1)} > \displaystyle\frac 1 \epsilon이고,
\epsilon\to 0^+이면
g(x_1)은 발산하며,
\not\exists c \ s.t.\ f(c)=M라는 가정이 모순임을 알 수 있다. 따라서
\exists c \ s.t.\ f(c)=M이다.
2.3. 최솟값의 존재를 증명 ✎
\mathbb T의 하한
M=\inf \mathbb T이 존재한다.
다음 함수를 생각해보자.
h(x) = \displaystyle\frac 1 {f(x)-m}
함수
h(x)는
m=f(x)인 경우를 제외하면 유계이므로
\not\exists d \ s.t.\ f(d)=m이라 하자.
h(x)는
[a, b]에서 연속이므로
\forall \epsilon >0 \ \exists x_2 \in[a, b] \ s.t. \ m<f(x_2)<m+\epsilon \equiv 0<f(x_2)<\epsilon이다.
따라서
h(x_2)는
\displaystyle\frac 1 {f(x_2)-m} > \displaystyle\frac 1 \epsilon이고,
\epsilon\to 0^+이면
h(x_2)은 발산하며,
\not\exists d \ s.t.\ f(d)=m라는 가정이 모순임을 알 수 있다. 따라서
\exists d \ s.t.\ f(d)=m이다.
