완전열의 특수한 경우로
\mathcal{C}가 abelian category고
A,B,C가
\mathcal{C}의 object일 때
0\to A\to B\to C\to 0꼴의 exact sequence를 말한다. 이는
A\to B쪽의 morphism을
f라고 하고
B\to C쪽의 morphism을
g라고 하면
f가 단사이고
g가 전사이면서
\text{Im}\,f=\text{Ker}\,g인 것과 같다.
목차
1. 성질
2. Ext functor와의 관계
3. 트리비아
A,B,C가 finite group이고 0\to A\to B\to C\to 0이라는 short exact sequence가 있으면 |B|=|A||C|가 성립한다.
\mathscr{F}가 projective scheme X에서 sheaf이고 \chi(\mathscr{F})가 \chi(\mathscr{F})=\sum^{2n}_{i=0}(-1)^i\dim{H^{i}(X,\mathscr{F})}라고 정의되는 Euler characteristic이고 X 위의 sheaf \mathscr{F}^{\prime},\mathscr{F},\mathscr{F}^{\prime\prime}에 대해서 0\to \mathscr{F}^{\prime}\to \mathscr{F}\to \mathscr{F}^{\prime \prime}\to 0이 short exact sequence라면 \chi(\mathscr{F})=\chi(\mathscr{F}^{\prime})+\chi(\mathscr{F}^{\prime\prime})이 성립한다.
2. Ext functor와의 관계 ✎
A,C가 R-module일 때 이것들의 Ext functor \text{Ext}^1_{R}(A,C)와 0\to A\to B\to C\to 0가 short exact sequence가 되게 하는 B들 사이에는 bijection이 존재한다.
호몰로지 대수학에서 기초적이면서도 중요한 개념 중 하나이다.
