정규부분군

정규부분군(Normal subgroup)은 임의의 원소에 대한 좌잉여류와 우잉여류가 같은 부분군이다.

목차

1. 정의
1.1. 증명
1.1.1. 0⇔1
1.1.2. 0⇔2
1.1.3. 0⇔3
1.1.4. 0⇔4
2. 성질
3. 영상

1. 정의 _{✎ ⊖}

군 G의 부분군 H에 대하여 임의의 G의 원소 x에 대해 xHx^{−1}=H가 성립할 떄, H를 G의 정규부분군이라고 한다. 기호로는 H⊲G로 표기한다.

이는 다음 각각과 동치이다.

1. ∀x∈G xH=Hx
2. ∀x∈G xHx^{−1}⊂H
3. G 상에 H를 핵으로 갖는 군 준동형사상이 존재한다.
4. 임의의 내부자기동형사상에 의해 불변이다.

1.1. 증명 _{✎ ⊖}

위에서 언급한 네 정의가 동치임을 보이자. ∀x∈G xHx^{−1}=H를 0번 조건이라고 하겠다.

1.1.2. 0⇔2 _{✎ ⊖}

0⇒2는 자명하다.

∀x∈G xHx^{−1}⊂H⇒∀x∈G H⊂x^{−1}Hx⇒∀x∈G H⊂xHx^{−1}이므로 2⇒0이다. 따라서 둘은 동치이다.

H가 군 준동형사상 f:G→G^′의 핵이라면 ∀h∈H, x∈G f(xhx^{−1})=f(x)⋅e_{G^′}⋅f(x)^{−1}=e_{G^′}에서 xhx^{−1}∈H, 즉 xHx^{−1}⊂H이다. 이는 2번 조건이므로 0번 조건을 만족시킨다. 따라서 3⇒0이다.

∀x∈G xH=Hx이면 H의 잉여류 aH,bH에 대하여 (aH)(bH)=aHbH=abHH=abH이므로 G/H 위에서의 연산을 정의할 수 있고, 이는 몫군이 된다. 이 때 f:x↦xH인 군 준동형사상 f:G→G/H의 핵은 H이다. 따라서 2⇒3이므로 0⇒3이다. 따라서 0번 조건과 3번 조건은 동치이다.

1.1.4. 0⇔4 _{✎ ⊖}

내부자기동형사상의 정의에 의해 자명하다.

2. 성질 _{✎ ⊖}

아벨 군의 모든 부분군은 정규부분군이다.
교환법칙이 성립하므로 ∀x∈G, H⊂G xHx^{−1}=xx^{−1}H=H이다. 따라서 H는 G의 정규부분군이다.

3. 영상 _{✎ ⊖}

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1. 정의 _{✎ ⊖}

1.1. 증명 _{✎ ⊖}

1.1.1. 0⇔1 _{✎ ⊖}

1.1.2. 0⇔2 _{✎ ⊖}

1.1.3. 0⇔3 _{✎ ⊖}

1.1.4. 0⇔4 _{✎ ⊖}

2. 성질 _{✎ ⊖}

3. 영상 _{✎ ⊖}

1. 정의 ✎ ⊖

1.1. 증명 ✎ ⊖

1.1.1. 0⇔1 ✎ ⊖

1.1.2. 0⇔2 ✎ ⊖

1.1.3. 0⇔3 ✎ ⊖

1.1.4. 0⇔4 ✎ ⊖

2. 성질 ✎ ⊖

3. 영상 ✎ ⊖

1. 정의 _{✎ ⊖}

1.1. 증명 _{✎ ⊖}

1.1.1. 0⇔1 _{✎ ⊖}

1.1.2. 0⇔2 _{✎ ⊖}

1.1.3. 0⇔3 _{✎ ⊖}

1.1.4. 0⇔4 _{✎ ⊖}

2. 성질 _{✎ ⊖}

3. 영상 _{✎ ⊖}