유니터리 군(Unitary group) \\mathrm{U(} n \\mathrm{)}은 n차 정방 유니터리 행렬로 이루어진 군이다.

목차

1. 특징
1.1. 수학
1.2. 물리학
2. 영상

1. 특징 ✎ ⊖

1.1. 수학 ✎ ⊖

수학적인 입장에서, 모든 원소는 \\mathrm{GL(} n, \\Bbb{C} \\mathrm{)}의 원소이다. 유니터리 군의 한 원소 \\boldsymbol{U} \\in \\mathrm{U(} n \\mathrm{)}에 대하여, 어떤 n차 정방 에르미트 행렬 \\boldsymbol{H}에 대해

　U=\\exp(i\\boldsymbol{H})

의 관계를 가진다. 양자역학의 수학적 체계에서 이 식은 시간에 대한 평행이동, 또는 공간에 대한 평행이동을 나타내는 것이며, \\boldsymbol{H}는 해밀토니안 연산자 또는 운동량 연산자로 대치된다. 앞에서의 관점을 좀 더 확장하면, 유니터리 군의 모든 원소는 단 하나의 원소 U_0와 연산자 \\exp(i\\boldsymbol{H}x)로 나타낼 수 있다. 즉, 임의의 원소 U에 대하여 U=U_0\\exp(i\\boldsymbol{H}x)이다. 이 식에서, 에르미트 행렬 \\boldsymbol{H}를 생성자(Generator)라고 한다.

생성자는 기저가 어떠한가에 따라 다시 생각해 볼 수 있다. 생성자의 기저 {\\boldsymbol{B}}_{i}끼리의 교환자가

　[{\\boldsymbol{B}}_{i}, {\\boldsymbol{B}}_{j}] = i {s}_{i j k} {\\boldsymbol{B}}_{k}

로 나타낼 수 있는 경우, {s}_{i j k}를 구조상수(Structure Constants)라고 한다. 이러한 관계에 있는 기저끼리의 반교환자는

　\\{{\\boldsymbol{B}}_{i}, {\\boldsymbol{B}}_{j}\\} = \\frac{1}{3} {\\delta}_{i j} \\boldsymbol{I} + {c}_{i j k} {\\boldsymbol{B}}_{k}

이다. 만약 기저들을 알고 있는데, 구조상수와 반교환계수 {c}_{i j k}를 모른다면

　{s}_{i j k} = - 2 i \\mathrm{Tr}([{\\boldsymbol{B}}_{i}, {\\boldsymbol{B}}_{j}], {\\boldsymbol{B}}_{k}), \\, {c}_{i j k} = 2 \\mathrm{Tr}(\\{{\\boldsymbol{B}}_{i}, {\\boldsymbol{B}}_{j}\\}, {\\boldsymbol{B}}_{k})

로 계산할 수 있다.

1.2. 물리학 ✎ ⊖

입자물리학에서, 하이퍼차지(Hypercharge)에 대한 상호작용은 \\mathrm{U(1)}군으로 기술할 수 있다. 또한 양자역학에서, 파동함수의 시간에 대한 대칭성이나 공간의 한 축에 대한 대칭성 역시 \\mathrm{U(1)}군에서 찾을 수 있다.

2. 영상 ✎ ⊖



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