\psi (\vec{x} , t)로 나타낸다. 이것을 파동함수(Wave Function)이라고 부르는데, 실제로 고전적인 파동이라고 가정하여 양자상태에 알맞게 발견하였기 때문이다. 고전적인 자유파동은 \psi (\vec{x} , t) = A \exp i (\vec{k} \cdot \vec{x} - \omega t)로 기술할 수 있는데, 아인슈타인의 에너지-진동수 관계식 E = \hbar \omega와 드 브로이의 운동량-파수(2) 관계식 \vec{p} = \hbar \vec{k}를 이용하면 에너지 연산자와 운동량 연산자는 E \psi = i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! \psi \; , \; \vec{p} \psi = - i \hbar \nabla \psi이다. 고전적인 보존계에서 한 입자의 에너지는 그 입자의 해밀토니안(Hamiltonian)과 같으므로 에너지 연산자를 해밀토니안 연산자 H라고 쓴다. 고전적인 해밀토니안은 (보존계에서) H = {E}_{\text{k}} + {E}_{\text{p}} = \frac{{\vec{p}}^{2}}{2 m} + {E}_{\text{p}}이므로, 양자상태가 \psi (\vec{x} , t)인 입자의 운동 방정식은 i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! \psi (\vec{x} , t) = \left ( - \! \frac{{\hbar}^{2}}{2 m} \! {\nabla}^{2} + {E}_{\text{p}} \right ) \psi (\vec{x} , t)이다. 이 방정식을 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger Equation)이라고 하며, 기존의 물리학자들이 많이 썼던 방식을 사용하였기 때문에 많이 선호된다.|\psi(\vec{x}, t)|^2이 특정 시간 t에 위치 \vec{x}에서 입자가 발견될 확률밀도를 의미한다는 보른의 확률 해석을 제시하여 양자역학의 확률론적 기초를 확립했다.1 \times n 행렬 ({c}_{i})로 나타낸다. 하이젠베르크에게 있어서 연산자란 n \times n 행렬이며 양자상태를 나타내는 행렬을 좌우로 써서 곱함으로써(3) 연산자의 고유값을 구할 수 있다. 또한 하이젠베르크는 양자상태가 시간에 따라서 변하는 것이 아니라 연산자가 시간에 따라서 변한다고 생각했는데, 그렇게 해서 만든 운동 방정식이 i \hbar \! \frac{d}{d t} \! A = [A , H] + i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! A이다. 여기서 A는 관측가능한 물리량을 나타내는 연산자이다. 참고로 A가 보존량이라면, 시각에 대하여 변하지 않고 또 시각을 명시적으로 표현하지 않아도 되므로 해밀토니안 연산자 H와의 교환자 값은 [A , H] = 0이 된다. 하지만 적절한 행렬을 찾는 데 너무 힘들고, 또 무한차 정방행렬을 다루는 것이 굉장히 힘들기 때문에 흔히 n개의 양자상태 문제라고 알려진 제한된 경우에만 많이 쓰인다. 대표적인 예로 스핀(Spin)(4)이 있다.\psi (\vec{x} , t) = \left \langle \vec{x} \left | U (t ; {t}_{0}) \right | \psi \right \rangle = U (t ; {t}_{0}) \left \langle \vec{x} \middle | \psi \right \rangle이라고 나타낼 수 있다. 만일 이러한 파동함수를 이용하여 물리량 고유값을 구하려고 한다면, \left \langle A (t ; {t}_{0}) \right \rangle = \left \langle \psi (t ; {t}_{0}) \left | A \right | \psi (t ; {t}_{0}) \right \rangle = \left \langle \psi \left | {U}^{\dagger} (t ; {t}_{0}) \, H \, U (t ; {t}_{0}) \right | \psi \right \rangle이라고 구할 수 있는데, 이것은 시간에 따라 변하는 물리량 연산자가 A (t ; {t}_{0}) = {U}^{\dagger} (t ; {t}_{0}) \, A \, U (t ; {t}_{0})이라는 말과 같다. 또한 해밀토니안 연산자는 어떤 것에 작용하든지 i \hbar \! \displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \! f = H f이므로\begin{aligned} i \hbar \! \frac{d}{d t} \! A (t ; {t}_{0}) &= {U}^{\dagger} \overleftarrow{i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t}} A U + {U}^{\dagger} A \overrightarrow{i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t}} U + i \hbar {U}^{\dagger} \! \frac{\partial}{\partial t} \! A U \\ &= {U}^{\dagger} \overleftarrow{i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t}} U {U}^{\dagger} A U + {U}^{\dagger} A U {U}^{\dagger} \overrightarrow{i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t}} U + i \hbar {U}^{\dagger} \! \frac{\partial}{\partial t} \! A U \\ &= {H}^{\dagger} (t ; {t}_{0}) A (t ; {t}_{0}) + A (t ; {t}_{0}) H (t ; {t}_{0}) + i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! A (t ; {t}_{0}) \\ &= A (t ; {t}_{0}) H (t ; {t}_{0}) - H (t ; {t}_{0}) A (t ; {t}_{0}) + i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! A (t ; {t}_{0}) \\ &= \left[A (t ; {t}_{0}), H (t ; {t}_{0})\right] + i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! A (t ; {t}_{0}) \end{aligned}
H (t ; {t}_{0}) = H이고 U (t ; {t}_{0}) = \exp (({i} / {\hbar})H(t - {t}_{0}))이다. 따라서 하이젠베르크의 운동 방정식 i \hbar \! \frac{d}{d t} \! A = [A , H] + i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! A이 자연스럽게 유도된다. 이는 두 역학체계가 단지 관점이 다를 뿐, 어느 것을 사용하든 결과는 같다는 말이다.\langle \cdot | \cdot \rangle)을 도입하여 파동역학과 행렬역학을 추상화된 하나의 선형대수학적 연산자 체계로 명쾌하게 통합해 냈다.i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! \left | \psi \right \rangle = \left ( \frac{{ \left ( i \hbar \nabla + q \vec{A} \right ) }^{2}}{2 m} + q \phi + \frac{q \hbar}{2 m} \! \vec{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \left ( \nabla \times \vec{A} \right ) \right ) \left | \psi \right \rangle 이 방정식에서 스피너 \left | \psi \right \rangle는 행렬로 표현하면 \left | \psi \right \rangle = {c}_{\uparrow} \left | \uparrow \right \rangle + {c}_{\downarrow} \left | \downarrow \right \rangle = \begin{pmatrix} {c}_{\uparrow} \\ {c}_{\downarrow} \end{pmatrix}이고 파울리 스핀 행렬 \vec{\boldsymbol{\sigma}} = ({\boldsymbol{\sigma}}^{1} , {\boldsymbol{\sigma}}^{2} , {\boldsymbol{\sigma}}^{3})은 각각 {\boldsymbol{\sigma}}^{1} = \begin{pmatrix} 0 & + 1 \\ + 1 & 0 \end{pmatrix} \, , \, {\boldsymbol{\sigma}}^{2} = \begin{pmatrix} 0 & - i \\ + i & 0 \end{pmatrix} \, , \, {\boldsymbol{\sigma}}^{3} = \begin{pmatrix} + 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}이다. 스핀 연산자가 \vec{S} \left | \psi \right \rangle = s \hbar \vec{\boldsymbol{\sigma}} \left | \psi \right \rangle임을 감안하면 전하를 가진 입자의 스핀은 자기장과 상호작용함을 알 수 있다. 이 식에서 s는 스핀 양자수이다. 따라서 전자기장과 전자는 스핀에 의해서도 서로 상호작용한다.\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \frac{\partial}{\partial {x}^{\mu}} \! \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial}_{\mu} \phi)} = 0으로부터 도출된다. 즉, 각 방정식은 적절한 라그랑지안 밀도 \mathcal{L} = \mathcal{L} (\phi , {\partial}_{\mu} \phi ; {x}^{\mu})를 사용하여 구할 수 있다.\left ( {\partial}^{\mu} {\partial}_{\mu} + \frac{{m}^{2} {c}^{2}}{{\hbar}^{2}} \right ) \phi = 0
\phi가 갖는 라그랑지안 밀도는 \mathcal{L} = \frac{1}{2} \! {\partial}^{\mu} {\phi}^{\ast} {\partial}_{\mu} \phi - \frac{1}{2} \! {\phi}^{\ast} \! \frac{{m}^{2} {c}^{2}}{{\hbar}^{2}} \! \phi
\Phi = \mathrm{Col} ({\phi}_{1} , {\phi}_{2} , {\phi}_{3} , \cdots , {\phi}_{n})을 이용하여 나타낼 수 있다. 이 경우의 라그랑지안 밀도는 \mathcal{L} = \frac{1}{2} \! {\partial}^{\mu} {\Phi}^{\dagger} {\partial}_{\mu} \Phi - \frac{1}{2} \! {\Phi}^{\dagger} \! \frac{{\boldsymbol{m}}^{2} {c}^{2}}{{\hbar}^{2}} \! \Phi
\phi \mapsto \exp \left ( \displaystyle i \! \frac{1}{2} \! Y \theta \right ) \phi로 변하여 그 방정식의 모양이 불변하지만 국소적(Local)으로는 위상이 \phi \mapsto \exp \left ( \displaystyle i \! \frac{1}{2} \! Y \theta ({x}^{\mu}) \right ) \phi으로 변하기 때문에 시공간 상의 모든 점에 대해 똑같이 변환되었다고 기대할 수 없다. 따라서 국소적 게이지 변환의 경우 \mathcal{L} = \frac{1}{2} \! {D}^{\mu} {\phi}^{\ast} {D}_{\mu} \phi - \frac{1}{2} \! {\phi}^{\ast} \! \frac{{m}^{2} {c}^{2}}{{\hbar}^{2}} \! \phi
\mathrm{U} (1) 게이지 변환이라고 부른다. 또한 {D}_{\mu} = {\partial}_{\mu} + \displaystyle i \! \frac{1}{2} \! g Y {B}_{\mu}를 공변도함수라고 부르고 {B}_{\mu}는 어떤 \mathrm{U} (1) 게이지 입자이다. 만약 다중항의 경우라면 \mathrm{U} (1) 변환뿐만 아니라 \mathrm{SU} (2) 변환 \Phi \mapsto \exp \left ( \displaystyle \frac{1}{2} \! \vec{\sigma} \cdot \vec{\theta} \right ) \Phi에 대해서도 게이지 대칭이 생기므로 \mathcal{L} = {D}^{\mu} {\Phi}^{\dagger} {D}_{\mu} \Phi
{D}_{\mu} = {\partial}_{\mu} + i \displaystyle \! \frac{1}{2} \! {g}_{B} Y {B}_{\mu} + i \! \frac{1}{2} \! {g}_{W} \vec{\sigma} \cdot {\vec{W}}_{\mu}는 공변도함수이다. 놀라운 점은 \mathrm{SU} (2) 게이지 변환에 대해서는 질량이 m = 0이어야 만족된다는 사실이다. 만일 질량을 가지고 있는 경우 자발적 대칭성 붕괴가 일어나 질량 항이 생겨난다. 이와 관련된 것이 바로 힉스 메커니즘이다.\left( i \hbar \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m c \right) \psi = 0
\gamma^\mu는 디랙 감마 행렬(4 \times 4)을 의미하며, 파동함수 \psi는 4성분 디랙 스피너 형태를 갖는다. 디랙 방정식은 스핀의 존재를 자연스럽게 설명할 뿐만 아니라, 음의 에너지 해 해석을 통해 반물질의 존재를 이론적으로 예견해냈다.