Ideal, 이데알
환
R의 원소들을 곱셈으로 흡수하는
R의 가법적 부분군을 말하는 것으로, 쿠머가 제시한 이상수(ideal number)의 개념을 데데킨트가 일반화시킨 것이다.
환
R의 부분집합
I에 대해
(I,+)가
(R, +)의 부분군일 때
\\forall x \\in I, \\forall r \\in R :(x \\cdot r \\in I)\\wedge(r\\cdot x \\in I)
이면
I를
R의 아이디얼(Ideal) 혹은 양쪽아이디얼(Two-sided ideal)이라고 한다. 임의의
r\\in R,
x\\in I에 대해
x \\cdot r \\in I를 만족하면 우아이디얼(Right ideal),
r\\cdot x \\in I를 만족하면 좌아이디얼(Left ideal)이라고 한다.
R이 가환환이면 양측아이디얼을 갖는다.
- \\mathbb{Z}[x]에서 I를 상수항이 짝수인 모든 다항식의 집합이라고 하면 I는 아이디얼이다.
- \\mathbb{Z}는 \\mathbb{Q}의 부분환이지만 \\mathbb{Q}의 아이디얼이 아니다.
3. 아이디얼의 생성 ✎ ⊖
항등원이 있는 가환환
R과
c_1,c_2,\\cdots,c_n\\in R에 대해 집합
I를 다음과 같이 정의하자.
I=\\{r_1c_1+r_2c_2+\\cdots+r_nc_n\\vert r_1,r_2,\\cdots,r_n\\in R\\}
그러면
I는
R의 아이디얼이고,
c_1,c_2,\\cdots,c_n에 의해 생성되는 아이디얼이라고 한다. 만약
n=1이면
I를 주아이디얼이라고 한다.
- 진 아이디얼(Proper ideal) : R이 아닌 R의 아이디얼을 말한다. 참고로, 어떤 아이디얼이 1을 포함한다는 것은 그 아이디얼이 환 전체라는 것과 동치이다.
- 극대 아이디얼(Maximal ideal) : I를 포함하면서 I와 같지 않은 진 아이디얼이 존재하지 않는 진 아이디얼 I를 말한다. 환을 극대 아이디얼로 나눈 몫은 체가 된다.
- 소 아이디얼(Prime ideal) : R의 임의의 원소 a와 b에 대해 ab가 I의 원소라면 언제나 a와 b 중 적어도 하나는 I의 원소가 되는 진 아이디얼 I를 말한다. 환을 소 아이디얼로 나눈 몫은 정역이 된다.
- 주 아이디얼(Principal ideal): 하나의 원소 a\\in R에 의해 생성(generate)된 아이디얼을 말한다.
아이디얼은 집합이므로 합집합과 교집합 등의 집합 연산을 할 수 있다. 일반적으로 환 R의 두 아이디얼 I, J의 교집합 I\\cap J은 R의 아이디얼이지만, 합집합 I\\cup J은 아이디얼이 아닐 수도 있다.
그 이외에 다음의 연산들이 정의된다.
I+J=\\{x+y\\mid x\\in I, y\\in J\\}
이는
I와
J를 포함하는 가장 작은 아이디얼이다.
IJ=\\left\\{\\sum_{i=1}^n x_i y_i\\mid x_i\\in I, y_i\\in J\\right\\}
이는
\\{xy\\mid x\\in I, y\\in J\\}를 포함하는 가장 작은 아이디얼이다. 일반적으로 두 아이디얼의 곱은 두 아이디얼의 교집합의 부분집합이다.
