Cubic equation
다항 방정식 중 하나로 다음 꼴의 방정식을 말한다.
ax^3+bx^2+cx+d=0
여기서
a\neq 0이다.
목차
1. 근의 공식
1.1. 다른 증명법
1.1.1. 대입법
2. 판별식
2.1. 2차항 없는 3차방정식의 판별식
2.2. 판별식 사용법
3. 영상1. 근의 공식 ✎
일반적인 복소계수 3차방정식 ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a \neq 0)을 생각하자.
적당한 t \in \Bbb C를 잡아 \displaystyle z=x-\frac{b}{3a}로 치환하고 3차항의 계수로 방정식을 나누면 z^3+pz+q=0 꼴의 방정식을 얻을 수 있다.
z=u+v라 하면 u^3+v^3+3u^v+3uv^2+p(u+v)+q=0인데, 여기서 uv=-\frac{p}{3}이 되도록 하면 u^3+v^3=-q가 되며, uv=-\frac{p}{3}와 연립하면 일반성을 잃지 않고
u=\omega^n \sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}},\ v=\omega^{3-n} \sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\ (\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\ n=0,1,2)임을 얻는다.
따라서
z=\omega^n \sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\omega^{3-n} \sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\ (n=0,1,2)이다.
이를 이용하면 ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a \neq 0)의 해가
x = -\frac{b}{3a}-\omega^n \frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}-\omega^{3-n}\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\ (n=0,1,2)
임을 알 수 있다.
적당한 치환을 통해
ax^3+bx^2+cx+d=0을
y^3+py+q=0으로 만드는 것 까지는 동일하다.
이제
y=z-\frac{p}{3z}으로 치환하여 정리하면
z^6+qz^3-\frac{p^3}{27}=0
을 얻고, 이는
z^3에 대한 이차방정식이므로
z^3을 구할 수 있다. 따라서
z=\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}\right)}
를 얻는다. 치환을 거꾸로 하면
x를 얻는다.
삼차 방정식
ax^3 + bx^2 + cx + d=0 (a \neq 0)의 판별식은
D=b^2c^2-4b^3d-4ac^3+18abcd-27a^2d^2
이것이다.
2.1. 2차항 없는 3차방정식의 판별식 ✎
x^3 + px + q이라는 삼차방정식은 판별식이 −4p^3-27q^2이다.
이것은 2차항의 유무에 관계없이 똑같이 적용된다.
D>0: 서로 다른 세 실근을 가진다.D=0이면 중근을 포함한 실근을 가진다.D=0, b^2=3ac, ad=bc 이 세 가지를 동시에 만족하면 삼중근을 가진다.D<0 실근 하나와 허근 둘을 가진다.
