부분군(Subgroup)은 어떤 군의 부분집합으로 동일한 연산을 가진 군을 말한다. 군론 공부의 시작이자 끝으로, 어떤 거대한 군의 구조를 파악하기 위해 그 안의 작은 방들을 조사하는 과정이라고 이해하면 편하다.
군
(G,⋅)에 대하여 다음과 같은 성질을 만족하는
G의 부분집합
H(≠∅)을
G의 부분군이라고 한다.
1.
e∈H2.
∀a,b∈H a⋅b∈H3.
∀a∈H a^{−1}∈H이는 다음과 동치이다. 소위 부분군 판정법(Subgroup Test)이라 불리는 것들이다.
1.
∀a,b∈H a⋅b^{−1}∈H [One-Step Subgroup Test]
2.
∀a,b∈H a^{−1}∈H,a⋅b∈H [Two-Step Subgroup Test]
G가 유한군인 경우
G의 임의의 원소
a는 유한한 주기
n를 가지므로
a^{−1}=a^{n−1}이다.
(1) 따라서
G가 유한군인 경우
H가 부분군일 조건은 다음과 동치이다.
1.
∀a,b∈H a⋅b∈HG가 이미 군이므로 결합법칙을 만족하고, 따라서 결합법칙은 부분군의 조건에서 생략될 수 있다.
G 자신과 자명군
\\{e\\}는 항상
G의 부분군이며, 이 때 부분군으로서의 자명군을 자명부분군(trivial subgroup)이라고 한다.
G와 자명부분군을 제외한
G의 부분군들을 진부분군(proper subgroup)이라고 한다.
- G가 아벨 군이면 G의 부분군도 아벨 군이다.
- G의 부분집합을 생성원으로 갖는 군은 G의 부분군이다.
- 군 G의 부분군 H에 대하여 |G:H|=2이면 H는 G의 정규부분군이다.
(a=gh)∈gH (g∈G−H,h∈H)에서
ah^{−1}=g∈H의 모순이 발생하므로
gH∩H=∅이다. 그러므로
G=Hg∪H=H∪gH 이어서
H⊲G이다.
(H,⋅)가
(G,⋅)의 부분군이면 다음이 성립한다:
임의의
a∈H에 대해
a⋅e∈HH이고
(a^{−1})^{−1}∈H^{−1} 이기 때문에 성립한다. 이는
H가
G의 부분군일 조건과 동치이기도 하다.
- I가 G의 부분군일 때, H∩I도 G의 부분군이다.
a⋅b∈H이고
a⋅b∈I(a,b∈H∩I) 이므로
a⋅b∈H∩I 이고 같은 방법으로
a^{−1}∈H∩I 이므로 성립한다.
- I가 G의 부분군일 때, HI가 G의 부분군이면 HI=IH이다.
(HI)^{−1}=IH 이므로 성립한다. 이 명제의 역도
HI=IH이면
(HI)(HI)^{−1}=H(IH)=(HH)I=HI이므로 성립한다.
- I와 J가 G의 부분군일 때, HI=IH이고 I⊆J이면 HI∩J=(H∩J)I 이다.
(H∩J)I⊆HI이므로
(H∩J)I⊆J이고,
(a=h⋅i)∈HI∩J (h∈H,i∈I)에서
h=a⋅i^{−1}∈H∩J이므로 성립한다.
- 군 G의 부분군 N이 G의 임의의 원소 g에 대해 g⋅N=N⋅g이면 N은 G의 정규부분군이다. 여기서 G의 원소 g와 부분군 N의 곱은 잉여류를 말한다.
- 군 G의 부분군 N이 G의 임의의 자기동형사상 α에 대해서 α(N)=N이면 N은 G의 특성부분군이다.
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 오메가에서 가져왔으며 CC BY-NC-SA 3.0에 따라 이용할 수 있습니다.본 문서의 원본은
링크에서 확인할 수 있습니다.
