부분군(Subgroup)은 어떤 군의 부분집합으로 동일한 연산을 가진 군을 말한다.
군 (G,⋅)에 대하여 다음과 같은 성질을 만족하는 G의 부분집합 H(≠∅)을 G의 부분군이라고 한다.
1. e∈H
2. ∀a,b∈H a⋅b∈H
3. ∀a∈H a^{−1}∈H
이는 다음과 동치이다.
1. ∀a,b∈H a⋅b^{−1}∈H [One-Step Subgroup Test]
2. ∀a,b∈H a^{−1}∈H,a⋅b∈H [Two-Step Subgroup Test]
G가 유한군인 경우 G의 임의의 원소 a는 유한한 주기 n를 가지므로 a^{−1}=a^{n−1}이다. 따라서 G가 유한군인 경우 H가 부분군일 조건은 다음과 동치이다.
1. ∀a,b∈H a⋅b∈H
G가 이미 군이므로 결합법칙을 만족하고, 따라서 결합법칙은 부분군의 조건에서 생략될 수 있다.
G 자신과 자명군 \\{e\\}는 항상 G의 부분군이며, 이 때 부분군으로서의 자명군을 자명부분군(trivial subgroup)이라고 한다. G와 자명부분군을 제외한 G의 부분군들을 진부분군(proper subgroup)이라고 한다.
- G가 아벨 군이면 G의 부분군도 아벨 군이다.
- G의 부분집합을 생성원으로 갖는 군은 G의 부분군이다.
- 군 G의 부분군 H에 대하여 |G:H|=2이면 H는 G의 정규부분군이다.
(a=gh)∈gH (g∈G−H,h∈H)에서
ah^{−1}=g∈H의 모순이 발생하므로
gH∩H=∅이다. 그러므로
G=Hg∪H=H∪gH 이어서
H⊲G이다.
(H,⋅)가
(G,⋅)의 부분군이면 다음이 성립한다:
임의의
a∈H에 대해
a⋅e∈HH이고
(a^{−1})^{−1}∈H^{−1} 이기 때문에 성립한다. 이는
H가
G의 부분군일 조건과 동치이기도 하다.
- I가 G의 부분군일 때, H∩I도 G의 부분군이다.
a⋅b∈H이고
a⋅b∈I(a,b∈H∩I) 이므로
a⋅b∈H∩I 이고 같은 방법으로
a^{−1}∈H∩I 이므로 성립한다.
- I가 G의 부분군일 때, HI가 G의 부분군이면 HI=IH이다.
(HI)^{−1}=IH 이므로 성립한다. 이 명제의 역도
HI=IH이면
(HI)(HI)^{−1}=H(IH)=(HH)I=HI이므로 성립한다.
- I와 J가 G의 부분군일 때, HI=IH이고 I⊆J이면 HI∩J=(H∩J)I 이다.
(H∩J)I⊆HI이므로
(H∩J)I⊆J이고,
(a=h⋅i)∈HI∩J (h∈H,i∈I)에서
h=a⋅i^{−1}∈H∩J이므로 성립한다.
- 군 G의 부분군 N이 G의 임의의 원소 g에 대해 g⋅N=N⋅g이면 N은 G의 정규부분군이다. 여기서 G의 원소 g와 부분군 N의 곱은 잉여류를 말한다.
- 군 G의 부분군 N이 G의 임의의 자기동형사상 α에 대해서 α(N)=N이면 N은 G의 특성부분군이다.
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