Löwenheim–Skolem theorem
수리논리학에서 뢰벤하임-스콜렘 정리는 일차 이론이 무한 모형의 농도를 통제할 수 없다는 내용의 정리이다.
목차
1. 진술
2. 참고 문헌
3. 영상
뢰벤하임과 스콜렘이 1915년에 처음 증명한 명제는 다음과 같다.
\Gamma가 가산 언어 상의 충족가능한 논리식들의 집합이면 \Gamma는 어떤 가산 구조 위에서 충족 가능하다.\Sigma가 가산 언어 상의 문장들의 집합이라 하자. 만약 \Sigma가 모형을 갖는다면 \Sigma는 가산 모형을 갖는다.
이를 좀 더 일반화시킨 명제는 다음과 같다.
\Gamma가 농도 \lambda인 언어 상의 충족가능한 논리식들의 집합이면 \Gamma는 농도가 \le\lambda인 어떤 구조 위에서 충족 가능하다.\Sigma가 농도 \lambda인 언어 상의 문장들의 집합이라 하자. 만약 \Sigma가 모형을 갖는다면 \Sigma는 농도가 \le\lambda인 모형을 갖는다.
타르스키는 이의 '반대의 경우', 즉 가산 모형으로부터 비가산 모형의 존재성이 이끌어 질 수 있음을 보였다.
\Gamma가 \lambda인 언어 상의 논리식들의 집합이고 \Gamma가 어떤 무한 구조 상에서 충족된다면 임의의 \kappa\ge\lambda인 \kappa에 대해 \Gamma가 충족가능한 농도 \kappa인 구조가 존재한다.
2. 참고 문헌 ✎
- Herbert B. Enderton (2001), A Mathematical Introduction to Logic 2nd, Harcourt/Academic Press.
