Laplace transform
적분 변환의 일종으로, 주로 미분방정식을 풀 때 사용된다. 라플라스 변환을 이용하면 초기값 조건이 주어진 미분방정식을 함수들의 대수적인 형태를 다루는 문제로 변환시킬 수 있다.
목차
1. 정의
2. 성질
2.1. 선형성
2.2. 진동수 이동
2.3. 시간 이동
2.4. 미분과 적분
2.5. 라플라스 변환의 미분과 적분
2.6. 합성곱
3. 변환표
4. 영상
f가 음이 아닌 실수들 위에서 정의된 함수일 때 그 라플라스 변환
\mathcal{L}(f)를
\mathcal{L}(f)(s)=\int_0^\infty e^{-st} f(t)dt
로 정의한다.
라플라스 변환은 다음 성질들을 만족시킨다.
라플라스 변환은 선형 변환이다. 즉, 함수
f,
g와 상수
c에 대해
\mathcal{L}(f+g)=\mathcal{L}(f)+\mathcal{L}(g)\mathcal{L}(cf)=c\mathcal{L}(f)
\mathcal{L}(e^{at}f)(s) = \mathcal{L}(f)(s-a)
H(x)가 헤비사이드 단계 함수일 때
\mathcal{L}(f(t-a)H(t-a))(s) = e^{-as}\mathcal{L}(f)(s)
라플라스 변환은 미분과 적분을 좀 더 단순한 형태로 변환시킨다. 가령, 만약 f가 지수 함수형이면
\mathcal{L}(f')(s)=s\mathcal{L}(f)(s)-f(0)
이다. 그리고 일반적으로
\mathcal{L}\left(\int_0^t f(\tau)d\tau \right)(s)=\frac{1}{s} \mathcal{L}(f)(s)
이다.
2.5. 라플라스 변환의 미분과 적분 ✎
\frac{d}{ds}\mathcal{L}(f(t))(s)=\mathcal{L}((-t)f(t))(s)
\int_s^\infty \mathcal{L}(f(t))(\varsigma)d\varsigma=\mathcal{L}(f(t)/t)(s)
(f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau일 때
\mathcal{L}(f*g)=\mathcal{L}(f)\mathcal{L}(g)
이다.
f(t) | \mathcal{L}(f)(s) | 수렴 영역 |
\delta(t+a) | e^{as} | for all s |
t^a H(t) | \dfrac{\Gamma(a+1)}{s^{a+1}} | \Re s>0, \Re a>-1 |
e^{at}H(t) | \dfrac{1}{s-a} | \Re s>a |
여기서
H(t)는 헤비사이드 단계 함수이다.
