Dirichlet product, Dirichlet multiplication, Dirichlet convolution
수론적 함수 사이에서 정의되는 이항연산이다.
두 수론적 함수 f, g에 대해 디리클레 곱 f*g은 다음과 같이 정의된다.
(f*g)(n)=\\sum_{d \\mid n} f(d)g(\\frac{n}{d})
수론적 함수
f,
g,
h에 대해 다음이 성립한다.
- 교환법칙 : f*g=g*f가 성립한다.
- 결합법칙 : (f*g)*h=f*(g*h)가 성립한다.
- 항등원 : I(n)=\\begin{cases}1&\\text{if}\\ n=1\\\\0&\\text{if}\\ n>1\\end{cases}이라고 하면 f*I=I*f=f가 성립한다.
- 역원 : f(1)\\neq0이면 f*f^{-1}=f^{-1}*f=I인 f^{-1}이 존재한다.
이를 이용하면
f(1)\\neq0인 수론적 함수
f들은 연산
*에 대한
아벨 군을 형성한다는 것을 알 수 있다.
\\begin{aligned} (f*(g*h))(n)&=\\sum_{d \\mid n}f(d)(g*h)(\\frac{n}{d})\\\\ &=\\sum_{d \\mid n}f(d)\\sum_{k|\\frac{n}{d}}g(k)h(\\frac{n}{dk})\\\\ &=\\sum_{d \\mid n}\\sum_{k|\\frac{n}{d}}f(d)g(k)h(\\frac{n}{dk})\\\\ &=\\sum_{abc=n}f(a)g(b)h(c)\\\\ &=\\sum_{d \\mid n}(\\sum_{k \\mid d}f(k)g(\\frac{d}{k}))h(\\frac{n}{d})\\\\ &=((f*g)*h)(n) \\end{aligned}
따라서 결합법칙이 성립한다.
수론적 함수 f (f(1) \\not = 0)에 대하여 역원 f^{-1}은 다음과 같은 식으로 표현된다.
f^{-1}(1)=\\frac{1}{f(1)}
f^{-1}(n)=-\\frac{1}{f(1)} \\sum_{d|n,\\ d<n}f(\\frac{n}{d})f^{-1}(d),\\ n>1
n에 대한 수학적 귀납법을 사용한다. n=1인 경우는 자명.
\\forall k<n에 대하여 f^{-1}(k)가 유일하게 존재한다고 가정하자. (f*f^{-1})(n)=I(n)=0에서
\\sum_{d|n}f(\\frac{n}{d})f^{-1}(d)=f(1)f^{-1}(n)+\\sum_{d|n,d<n}f(\\frac{n}{d})f^{-1}(d)=0
이므로
f^{-1}(n)=\\frac{-1}{f(1)}\\sum_{d|n,d<n}f(\\frac{n}{d})f^{-1}(d)
따라서 원하는 식을 얻는다.
수론적 함수 f가 완전 곱셈적일 때, f의 역원 f^{-1}는 \\mu f와 같다. 즉
f^{-1}(n)=\\mu(n)f(n)
이다. 증명은 디리클레 곱과 완전 곱셈적 함수의 정의에 의해 자명하다.
2.3. 뫼비우스 반전 공식 ✎ ⊖
수론적 함수 f, g에 대해 다음이 성립한다.
f(n)=\\sum_{d \\mid n}g(n) \\iff g(n)=\\sum_{d \\mid n} \\mu(d) g(\\frac{n}{d})
일반화된 합성곱(Generalized convolution)은 수론적 함수 \\alpha와 \\Bbb R^+ 위에서 정의되어있고 (0,1) 위에서 그 값이 0인 복소함수 F에 대해 다음과 같이 정의되는 연산 \\circ이다.
(\\alpha \\circ F)(x)=\\sum_{n \\leq x}\\alpha(n)F(\\frac{x}{n})
3.1. 디리클레 곱과의 관계 ✎ ⊖
F가 정수 이외의 실수에서 0의 값을 가질 때, m \\in \\Bbb N에 대해 다음이 성립한다,
(\\alpha \\circ F)(m)=(\\alpha * F)(m)
따라서 \\circ는 *의 일반화로 볼 수 있다.
\\circ는 일반적으로 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않지만, *과 함께 다음이 성립한다. 여기서 \\alpha,\\ \\beta는 수론적 함수이다.
\\alpha \\circ (\\beta \\circ F)=(\\alpha * \\beta) \\circ F
항등원 함수 I(n)=\\left[\\frac{1}{n}\\right]은 일반화된 합성곱에서의 좌항등원이다. 즉 다음이 성립한다.
I \\circ F=F
3.3. 일반화된 반전 공식 ✎ ⊖
\\alpha의 역원
\\alpha^{-1}가 존재할 경우, 다음이 성립한다.
G(x)=\\sum_{n \\leq x} \\alpha(n)F(\\frac{x}{n}) \\iff F(x)=\\sum_{n \\leq x}\\alpha^{-1}(n)G(\\frac{x}{n})즉
G=\\alpha \\circ F \\iff F=\\alpha^{-1} \\circ G이다.
