Dirichlet product, Dirichlet multiplication, Dirichlet convolution
수론적 함수 사이에서 정의되는 이항연산이다.
두 수론적 함수 f, g에 대해 디리클레 곱 f*g은 다음과 같이 정의된다.
(f*g)(n)=sum_{d mid n} f(d)g(frac{n}{d})
수론적 함수
f,
g,
h에 대해 다음이 성립한다.
- 교환법칙 :
f*g=g*f가 성립한다. - 결합법칙 :
(f*g)*h=f*(g*h)가 성립한다. - 항등원 :
I(n)=begin{cases}1&text{if} n=1\0&text{if} n>1end{cases}이라고 하면 f*I=I*f=f가 성립한다. - 역원 :
f(1)neq0이면 f*f^{-1}=f^{-1}*f=I인 f^{-1}이 존재한다.
이를 이용하면
f(1)neq0인 수론적 함수
f들은 연산
*에 대한
아벨 군을 형성한다는 것을 알 수 있다.
begin{aligned} (f*(g*h))(n)&=sum_{d mid n}f(d)(g*h)(frac{n}{d})\ &=sum_{d mid n}f(d)sum_{k|frac{n}{d}}g(k)h(frac{n}{dk})\ &=sum_{d mid n}sum_{k|frac{n}{d}}f(d)g(k)h(frac{n}{dk})\ &=sum_{abc=n}f(a)g(b)h(c)\ &=sum_{d mid n}(sum_{k mid d}f(k)g(frac{d}{k}))h(frac{n}{d})\ &=((f*g)*h)(n) end{aligned}
따라서 결합법칙이 성립한다.
수론적 함수 f (f(1) not = 0)에 대하여 역원 f^{-1}은 다음과 같은 식으로 표현된다.
f^{-1}(1)=frac{1}{f(1)}
f^{-1}(n)=-frac{1}{f(1)} sum_{d|n, d<n}f(frac{n}{d})f^{-1}(d), n>1
n에 대한 수학적 귀납법을 사용한다. n=1인 경우는 자명.
forall k<n에 대하여 f^{-1}(k)가 유일하게 존재한다고 가정하자. (f*f^{-1})(n)=I(n)=0에서
sum_{d|n}f(frac{n}{d})f^{-1}(d)=f(1)f^{-1}(n)+sum_{d|n,d<n}f(frac{n}{d})f^{-1}(d)=0
이므로
f^{-1}(n)=frac{-1}{f(1)}sum_{d|n,d<n}f(frac{n}{d})f^{-1}(d)
따라서 원하는 식을 얻는다.
2.2.2. 완전 곱셈적 함수의 역원 ✎
수론적 함수 f가 완전 곱셈적일 때, f의 역원 f^{-1}는 mu f와 같다. 즉
f^{-1}(n)=mu(n)f(n)
이다. 증명은 디리클레 곱과 완전 곱셈적 함수의 정의에 의해 자명하다.
2.3. 뫼비우스 반전 공식 ✎
수론적 함수 f, g에 대해 다음이 성립한다.
f(n)=sum_{d mid n}g(n) iff g(n)=sum_{d mid n} mu(d) g(frac{n}{d})
일반화된 합성곱(Generalized convolution)은 수론적 함수 alpha와 Bbb R^+ 위에서 정의되어있고 (0,1) 위에서 그 값이 0인 복소함수 F에 대해 다음과 같이 정의되는 연산 circ이다.
(alpha circ F)(x)=sum_{n leq x}alpha(n)F(frac{x}{n})
3.1. 디리클레 곱과의 관계 ✎
F가 정수 이외의 실수에서 0의 값을 가질 때, m in Bbb N에 대해 다음이 성립한다,
(alpha circ F)(m)=(alpha * F)(m)
따라서 circ는 *의 일반화로 볼 수 있다.
circ는 일반적으로 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않지만, *과 함께 다음이 성립한다. 여기서 alpha, beta는 수론적 함수이다.
alpha circ (beta circ F)=(alpha * beta) circ F
항등원 함수 I(n)=left[frac{1}{n}right]은 일반화된 합성곱에서의 좌항등원이다. 즉 다음이 성립한다.
I circ F=F
3.3. 일반화된 반전 공식 ✎
alpha의 역원
alpha^{-1}가 존재할 경우, 다음이 성립한다.
G(x)=sum_{n leq x} alpha(n)F(frac{x}{n}) iff F(x)=sum_{n leq x}alpha^{-1}(n)G(frac{x}{n})즉
G=alpha circ F iff F=alpha^{-1} circ G이다.
