데데킨트 절단 - 시드위키

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Dedekind cut

유리수 집합을 두 구간으로 나누는 것을 말한다. 데데킨트 절단을 통해 실수 집합을 정의하고 그 완비성을 보일 수 있다.

1. 진술
2. 실수 집합의 정의
2.1. 증명
2.2. 유리수와 무리수
3. 참고문헌
4. 영상

1. 진술 ✎

순서집합 \mathbb{Q} 의 부분집합 A 에 대해 다음이 성립하면, \mathbb{Q} 는 A 로 데데킨트 절단되었다고 한다.

A\neq \varnothing,\ A\neq \mathbb{Q}
a\in A,\ \exists b\in\mathbb{Q} \ s.t.\ b<a \to b\in A
\forall a\in A\ \exists b\in A\ s.t.\ a<b

다시 말해 모든 \mathbb{Q}-A 의 원소는 A 의 원소보다 크고 A 는 가장 큰 원소를 갖지 않는다.

2. 실수 집합의 정의 ✎

실수 집합은 다음의 존재성을 보임으로써 정의할 수 있다.

공집합이 아닌 X\subseteq R 가 위로 유계이면 X 의 상한이 R 에 존재하는 순서체 R 이 존재한다.

간단히 말해, 완비성을 만족하는 순서체 R 이 존재한다. 그런 R 은 모두 동형이고 \Bbb Q 와 동형인 부분체를 가지는데, 이 R 이 우리가 아는 \mathbb{R} 이며 그 원소를 실수라고 한다.

2.1. 증명 ✎

집합 R 이 유리수 전체의 집합 \mathbb{Q} 의 데데킨트 절단을 원소로 갖는다고 하면 (R, \subset) 는 순서집합이다. 공집합이 아닌 X\subseteq R 가 위로 유계이면 \bigcup X 는 X 가 위로 유계이므로 \mathbb{Q} 가 아니고, a \in \bigcup X 는 어떤 A \in X 에 대해 a \in A 인데 b<a 이면 b\in A 이므로 b \in \bigcup X 이고, c \in A 가 a<c 이면 c\in \bigcup X 이므로 \bigcup X 는 데데킨트 절단이며 모든 A \in X 에 대해 A \subseteq \bigcup X 이므로 \bigcup X= \sup X \in R 를 얻는다.

집합 A,\ B \in R 에 대해 A+B = \{ r+s\ |\ r\in A,\ s\in B \} 라 하고, 집합 O = \{q\in Q \ | \ q<0 \} 와 A,\ B \in \{ C\in R\ |\ C\supset O \} 에 대해 AO=OA=O 고 AB = \{ p \in Q\ |\ p < rs,\ r > 0,\ s > 0,\ r \in A,\ s\in B\} 라 하면 R 은 순서체로서의 조건을 만족한다.

2.2. 유리수와 무리수 ✎

유리수 전체의 집합 \mathbb{Q} 를 데데킨트 절단했을 때, 다음 두 가지 경우를 생각할 수 있다.

A:=\{a\in \mathbb{Q} \mid a<1\} 에 대해 \mathbb{Q}-A=\{b \in \mathbb{Q} \mid b≥1\} 이 된다.
\to \mathbb{Q}-A의 최소원소는 유리수 1 이다.
A:=\{a\in \mathbb{Q} \mid a^2<2 ∨ a≤0\} 에 대해 \mathbb{Q}-A=\{b \in \mathbb{Q} \mid b^2≥2 ∧ b>0\} 이 된다.
\to \mathbb{Q}-A의 최소원소는 존재하지 않는다.⁽¹⁾

두 번째 경우와 같이 \mathbb{Q} 를 A 로 데데킨트 절단했을 때 \mathbb{Q}-A 의 최소원소가 존재하지 않으면 절단된 지점은 유리수에 대응되지 않고, 따라서 유리수 집합은 연속성을 가지지 않는다. 이 때의 절단된 지점을 무리수라고 하면, 데데킨트 절단한 모든 경우의 절단된 지점들을 실수 집합에 대응시킬 수 있다.

3. 참고문헌 ✎

Walter Rudin (2006) The Principles of Mathematical Analysis. ISBN 0-070-85613-3.

4. 영상 ✎

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(1) 여기서 b\in \mathbb{R} 이면 \sqrt{2} 이다.