Fundamental theorem of algebra
상수가 아닌 임의의 복소계수 다항식은 적어도 하나의 복소수 근을 갖는다는 정리이다. 달랑베르가 제시했고 가우스가 증명했다고 알려져 있다. 이 정리는 복소수체가 대수적으로 닫혀있음을 뜻한다.
목차
1. 진술
2. 증명
3. 따름정리
4. 영상
상수가 아닌 임의의 복소계수 다항식은 적어도 하나의 복소수 근을 가진다.
다음 복소다항식이 근을 갖지 않는다고 가정하자.
f(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n
그러면 충분히 큰 R>0이 있어 |z|>R이면
|a_0|+|a_1||z|+\cdots+|a_{n-1}||z|^{n-1}<\frac{1}{2} |a_n||z|^n
이다. 이는 좌변과 우변의 비의 극한을 계산하면 알 수 있다.
따라서 |z|>R이면 \frac{|a_n|}{2} |z|^n \le |f(z)|\le\frac{3|a_n|}{2}|z|^n이다. 그리고 다음 영역은 컴팩트하다.
\overline{B}(0,R)=\{z\in\Bbb{C} : |z|\le R\}
그러므로 |f|를 최소로 만드는 z_0가 존재하고, 특히 f(z)\neq 0에서 |f(z_0)|>0 이다. 이제
\displaystyle 0<|\frac{1}{f(z)}|\le \frac{1}{m}\ (\displaystyle m=\min\{\frac{1}{2}|a_n|R^n,|f(z_0)|\})
이 성립한다. 따라서 \displaystyle \frac{1}{f} 는 유계인 전해석함수이므로 이는 리우빌의 정리에 의해 상수함수이고 복소평면 전체에서 항등적으로 0이다.
다시 말해, 상수가 아닌 다항식 f는 적어도 하나의 영점을 갖는다. ■
다음 정리는 대수학의 기본 정리에 의해 자명하게 유도된다.
임의의 n차 복소계수 다항식은 (중근까지 고려하여) n개의 복소수근을 갖는다.
