수학에서 놈(norm, 노름)은 벡터공간의 벡터에 거리나 크기 개념을 도입하기 위한 함수로, 주로 선형대수학에서 쓰인다.
목차1. 일반적인 정의2. \mathbb{C}^n에서의 놈3. 참고문헌4. 영상 1. 일반적인 정의 ✎ ⊖
V를
\\mathbb{C}의 부분
체 F 위에서 정의된 벡터공간이라 하자. 함수
||\\cdot||:V\\to\\mathbb{R}이 모든
\\mathbf{x},\\mathbf{y}\\in V와 모든
c\\in F에 대해
(1)
||\\mathbf{x}|| \\ge 0(1a)
||\\mathbf{x}||=0 \\Leftrightarrow \\mathbf{x}=\\mathbf{0}(2)
||c\\mathbf{x}||=|c|||\\mathbf{x}||(3)
||\\mathbf{x}+\\mathbf{y}||\\le ||\\mathbf{x}|| +||\\mathbf{y}||를 만족하면
||\\cdot||를 놈이라 한다. (1), (2), (3)의 조건을 충족하는 함수는 세미놈(Seminorm)이라 한다.
2. \\mathbb{C}^n에서의 놈 ✎ ⊖
\\mathbb{C}^n의 원소
\\mathbf{x}=\\begin{bmatrix}x_1 & \\cdots & x_n\\end{bmatrix}^T에 대해,
- ℓ1 놈 \\| \\mathbf x\\|_1 = \\sum_{i=1}^n |x_i|
- ℓ2 놈(유클리드 놈) \\| \\mathbf x\\| =\\| \\mathbf x\\|_2 = \\sqrt{\\sum_{i=1}^n {x_i}^2}
- ℓp 놈(일반화) \\displaystyle \\| \\mathbf x\\|_p = \\sqrt[p]{\\sum_{i=1}^n {x_i}^p}
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
