Inner Product, Dot Product / Scalar Product
(1)두 개의 벡터를 곱하여 하나의 스칼라를 얻는 연산을 말한다. 때에 따라
\cdot,
\langle \cdot, \cdot \rangle,
\langle \cdot | \cdot \rangle 등으로 다양하게 나타낸다. 하지만 이들은 공통적으로
{\mathbb{R}}^{n} \times {\mathbb{R}}^{n} \mapsto \mathbb{R} 또는
{\mathbb{C}}^{n} \times {\mathbb{C}}^{n} \mapsto \mathbb{C}인 연산이다.
V를 \mathbb{C}의 부분체 F 위에 있는 벡터공간이라 하자. 함수 \left<\cdot,\cdot\right>:V\times V \to F가 모든 \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in V, c\in F에 대해
(1) \left<\mathbf{x},\mathbf{x}\right>\ge 0
(1a) \left<\mathbf{x},\mathbf{x}\right>=0 \Leftrightarrow \mathbf{x}=\mathbf{0}
(2) \left<\mathbf{x+y},\mathbf{z}\right>=\left<\mathbf{x},\mathbf{z}\right>+\left<\mathbf{y},\mathbf{z}\right>
(3) \left<c\mathbf{x},\mathbf{y}\right>=c\left<\mathbf{x},\mathbf{y}\right>
(4) \left<\mathbf{x},\mathbf{y}\right>=\overline{\left<\mathbf{y},\mathbf{x}\right>}
를 만족하면 내적이라 한다. 함수가 (2), (3), (4)를 만족하면 반쌍형적 함수(Sesquilinear function)라 한다.
선형대수학에서, 두 벡터 \mathbf{x}와 \mathbf{y}의 내적은 다음과 같이 정의된다.
\displaystyle \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \begin{bmatrix} {x}_{1}^{\ast} & {x}_{2}^{\ast} & {x}_{3}^{\ast} & \cdots & {x}_{n}^{\ast} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {y}_{1} \\ {y}_{2} \\ {y}_{3} \\ \vdots \\ {y}_{n} \end{bmatrix} = \sum_{i = 1}^{n} {x}_{i}^{\ast} {y}_{i}
따라서 어떤 벡터의 놈(norm) \| \mathbf{x} \| =\sqrt{ \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle}은 실수일 수 밖에 없다.
기하학에서는 벡터의 내적을 정의하기 위하여 계량 텐서를 필요로 한다. 계량 텐서의 각 성분은
{g}_{i j} = {\hat{\mathbf{e}}}_{i} \cdot {\hat{\mathbf{e}}}_{j}
으로 정의된다. 벡터 \vec{x}와 \vec{y}는
\displaystyle \vec{x} = \sum_{i = 1}^{n} {x}^{i} {\hat{\mathbf{e}}}_{i} \, , \; \vec{y} = \sum_{i = 1}^{n} {y}^{i} {\hat{\mathbf{e}}}_{i}
으로 정의되기 때문에 두 벡터의 내적은
\displaystyle \vec{x} \cdot \vec{y} = \sum_{i, j = 1}^{n} {g}_{i j} {x}^{i} {y}^{j}
이다.
L^1 공간에서 임의의 벡터 f, g의 내적은 다음과 같이 정의된다.
\displaystyle \langle f , g \rangle = \int_{-\pi} ^\pi f(x)g(x) dx
정적분 값이기 때문에 언제나 실수이다.
{L}^{2} 공간에서의 벡터를 디랙 표기법에 따라 나타내면 | f \rangle로 나타낼 수 있다. 이것은 선형대수학에서의 벡터와 비슷한 형태라고 생각하면 된다. 따라서 두 벡터 | f \rangle와 | g \rangle의 내적은 다음과 같이 정의된다.
\displaystyle \langle f | g \rangle = \int_{X} {f}^{\ast}(x) g(x) \, d x
여기서도 벡터의 놈은 언제나 실수로 정의된다.
