위상수학에서, 집합의 내부(Interior)는 그 집합에 포함된 모든 열린 집합의 합집합으로, 직관적으로 집합의 경계를 제외한 내부라는 개념과 일치한다.
위상공간 X에서 집합 A의 내부는 A에 포함된 모든 열린 집합의 합집합이다. \\operatorname{Int}A, \\operatorname{int}A, 또는 A^\\circ로 표기한다.
집합 A에 속하는 점 p에 대해 E의 부분집합인 p의 근방이 존재하면, p를 A의 내부점(interior point)라고 한다.
A의 내부는 A의 모든 내부점들의 집합과 같다.
- 내부는 열려있다.
- 내부는 그 집합에 포함된 가장 큰 열린 집합이다.
- 열린 집합의 내부는 자기 자신이다. 역도 성립한다.
- A\\subset B이면 \\operatorname{int}A\\subset\\operatorname{int}B이다.
- A가 열린 집합이면, A\\subset B는 A\\subset\\operatorname{int}B와 동치이다.
- 내부 연산자 \\operatorname{int}는 멱등성을 가진다. 즉, \\operatorname{int}(\\operatorname{int}A)=\\operatorname{int}A이다.
집합
A의 외부(Exterior)는
\\operatorname{ext} A,
\\operatorname{Ext} A, 또는
A^e로 표기하며,
\\operatorname{int}(X\\setminus A)로 정의한다. 내부와 마찬가지로, 이는 직관적으로 집합의 외부라는 개념과 일치한다.
외부의 많은 성질들이 내부의 성질들로부터 자연스럽게 유도된다. 예를 들어
- \\operatorname{ext} A 는 A와 서로소인 열린 집합이다..
- \\operatorname{ext} A 은 A와 서로소인 모든 열린 집합들의 합집합이다.
- \\operatorname{ext} A는 A와 서로소인 최대의 열린 집합이다.
- A\\subset B이면 \\operatorname{ext} A\\supset\\operatorname{ext} B이다.
내부 연산자와 다르게, ext는 멱등성을 가지지 않지만, 다음이 성립한다.
- \\operatorname{ext}(\\operatorname{ext}(A))\\supset\\operatorname{int}(A).
