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라그랑주 정리(Lagrange's theorem)란 군론의 정리 중 하나로 유한군의 부분군의 위수를 결정해주는 정리 중 하나이다. 특히, 이 정리는 군론의 위수를 완벽하게 결정하며 몫군이 무슨 의미를 가지는지 설명해줄 뿐 아니라 부분군의 갯수를 결정해주기도 한다.
G가 유한군이고 H가 G의 부분군이라고 하자. 그러면 H의 위수는 G의 위수를 나누게 된다.
2. 증명의 개요 ✎ ⊖
먼저 우리는 다음을 보자.
| G=\\displaystyle\\bigcup_{g\\in G}gH |
그리고 자명하게 모든
g,h∈G에 대해서
gH와
hH의 위수는 같다. 그리고
gH와
hH는 서로 같거나 또는 서로소이므로
| G=\\displaystyle\\bigsqcup_{g\\in G}gH |
가 되고 증명이 끝난다.
- 위수가 5 이하인 모든 군은 아벨 군이다.
- H가 G의 정규부분군이면 G/H의 위수는 |G|/|H|가 된다.
- p가 소수고 a가 p로 나누어지지 않는 정수일 때 ap−1≡1(modp)가 된다.(1)
4. 무한군에 대한 라그랑주 정리 ✎ ⊖
선택공리를 가정하면 무한군에 대해서도 라그랑주 정리가 성립함을 증명할 수 있다. 사실, 무한군에 대한 라그랑주 정리는 선택공리와 동치이다.
