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유한 생성 가군(Finitely-generated module)이란 유한 개의 생성원을 갖는 가군을 말한다.
목차1. 정의2. 유한 계수의 자유 가군3. PID 상의 유한 생성 가군3.1. R이 PID일 때, 계수가 n인 자유 R-가군 M에 대해 M의 부분 가군 N 역시 자유 R-가군이고, 그 계수는 최대 n이다3.1.1. 증명 R-좌가군 M의 임의의 원소 x에 대해 x=r1a1+r2a2+...rnan를 만족하는 r1,r2,...,rn∈R이 존재하도록 하는 a1,a2,...,an∈M이 존재하면, M을 유한 생성 가군이라 하고 a1,a2,...,an을 M의 생성원, {a1,a2,...,an}을 M의 생성 집합이라 한다.
2. 유한 계수의 자유 가군 ✎ ⊖
R이 가환환 일 때, 유한 생성 R-가군 M의 생성 집합이 선형 독립이면 M은 유한 계수의 자유 가군이 된다.
3. PID 상의 유한 생성 가군 ✎ ⊖
PID 상의 유한 생성 가군은 다음과 같은 몇 가지 성질을 가진다.
3.1. R이 PID일 때, 계수가 n인 자유 R-가군 M에 대해 M의 부분 가군 N 역시 자유 R-가군이고, 그 계수는 최대 n이다 ✎ ⊖
수학적 귀납법을 사용하자. n=1일 때, M≅R이므로 M의 부분 가군 N은 R의 아이디얼로 생각할 수 있고, R은 PID이므로 N=aR인 a∈R가 존재한다.
만약 a=0이면, N=0이므로 계수가 0인 자유 R-가군이 된다.
a≠0이면,N≅R이므로 계수가 1인 자유 R-가군이 된다.
이제 n=k일 때 위 명제가 성립한다고 가정하자. M의 기저를 {e1,e2,...,ek+1}이라 하고, {e1,e2,...,ek}로 생성되는 자유 가군을 P라고 하면 N∩P는 계수가 k인 자유 가군의 P의 부분군이므로 자유 가군이 된다. 만약 N=N∩P이라면 P는 계수가 k인 자유 가군이 된다.
N≠N∩P이라면 N을 N의 ek+1 좌표로 보내는 사상 f:N→R의 상 im(f)는 R의 0이 아닌 이데알이 되고, R은 PID이므로 im(f)=bR인 b∈R가 존재한다.
f(y)=b인 N의 원소를 y라 하면 임의의 x∈N(f(x)=bc, c∈R)에 대해 x=cy+x−cy으로 표현 가능하고 c∈R, x−cy∈N∩P이므로 N≅R⊕N∩P, N는 계수가 k+1인 자유 가군이 된다.
