부분공간 위상 (1)

Subpace Toplogy

위상공간 X의 주어진 위상으로부터 자연스럽게 정의되는 X의 부분집합의 위상을 말한다. 부분공간 위상이 주어진 X의 부분집합을 부분공간(Subspace)라고 한다.

목차

1. 정의
2. 성질
2.1. 기저
2.1.1. 증명
3. 영상

1. 정의 _{✎ ⊖}

위상공간 (X,\\mathcal T)와 그 부분집합 Y\\subset X를 생각하자. 이 때 \\mathcal T_Y=\\{Y\\cap U\\mid U\\in\\mathcal T\\}를 부분공간 위상으로 정의하며, (Y,\\mathcal T_Y)를 X의 부분공간이라고 한다.

이렇게 정의된 \\mathcal T_Y가 Y의 위상임은 \\mathcal T가 X의 위상임에서 자명하게 유도된다.

2. 성질 _{✎ ⊖}

2.1. 기저 _{✎ ⊖}

\\mathcal B가 (X,\\mathcal T)의 기저일 때, \\mathcal B_Y=\\{B\\cap Y\\mid B\\in\\mathcal B\\}는 (Y,\\mathcal T_Y)의 기저가 된다.

2.1.1. 증명 _{✎ ⊖}

U_Y\\subset\\mathcal T_Y이면 U\\in\\mathcal T가 존재하여 U_Y=U\\cap Y가 된다. U_Y의 임의의 원소 x에 대해 x\\in U이므로 B\\in\\mathcal B가 존재하여 x\\in B\\subset U이고, 따라서 B_Y=B\\cap Y\\in\\mathcal B_Y에 대해 x\\in B_Y\\subset U_Y이다. 기저의 성질에 의해 \\mathcal B_Y는 \\mathcal T_Y의 기저가 된다.

3. 영상 _{✎ ⊖}

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1. 정의 ✎ ⊖

2. 성질 ✎ ⊖

2.1. 기저 ✎ ⊖

2.1.1. 증명 ✎ ⊖

3. 영상 ✎ ⊖

1. 정의 _{✎ ⊖}

2. 성질 _{✎ ⊖}

2.1. 기저 _{✎ ⊖}

2.1.1. 증명 _{✎ ⊖}

3. 영상 _{✎ ⊖}